講解內(nèi)容
1.主成分分析的基本思路和簡單數(shù)學(xué)解釋
主成分分析就是把多個指標(biāo)簡化為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)分析方法，它能使這些綜合指標(biāo)盡可能地反映原來多個指標(biāo)的信息，并保證這些綜合指標(biāo)彼此之間互不相關(guān)。
主成分分析的數(shù)學(xué)解釋：
設(shè)有p個原始指標(biāo)：x1,x2,x3,…xp，用來對n個單位進(jìn)行評價，則共有np個數(shù)據(jù)。
這p個原始指標(biāo)之間往往存在著一定的相關(guān)性，主成分分析的目的是要將這些原始指標(biāo)組合成新的不相關(guān)的指標(biāo)：y1,y2,y3,…yp，以使各指標(biāo)在整個經(jīng)濟(jì)過程中的作用容易解釋，這些綜合指標(biāo)表現(xiàn)為原始指標(biāo)的線性函數(shù)：
y1=l11x1+l12x2+…l1pxp
y2=l21x1+l22x2+…l2pxp
………………………
yp=lp1x1+lp2x2+…lppxp
由于所組合成的新指標(biāo)：y1,y2,y3,…yp彼此不相關(guān)，就使我們有可能從中選擇主要成分，通過對主要成分的重點(diǎn)分析，達(dá)到綜合評價的目的。
通過數(shù)學(xué)計(jì)算可以將p個指標(biāo)的總方差分解為p個不相關(guān)的綜合指標(biāo)的方差之和 ，并使第一個綜合指標(biāo)y1方差達(dá)到最大(貢獻(xiàn)率最大)，第二個綜合指標(biāo)y2的方差次大，依此類推，一般前面幾個綜合指標(biāo)y1,y2,y3,…yr(r
2.計(jì)算步驟
主成分分析可分為以下幾個主要步驟：
(1)列出指標(biāo)數(shù)值矩陣X
(2)計(jì)算X的協(xié)方差矩陣S。為了消除指標(biāo)間不同量綱的影響，一般需先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，而變換后的標(biāo)準(zhǔn)化值的協(xié)方差矩陣恰好是原始指標(biāo)數(shù)值X的相關(guān)矩陣。因此，計(jì)算協(xié)方差矩陣可簡化為計(jì)算相關(guān)矩陣R。
(3)計(jì)算協(xié)方差矩陣S(或相關(guān)矩陣R)的特征值λ和特征向量L(即指標(biāo)x的系數(shù))。
(4)計(jì)算貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，據(jù)以確定主成分(即綜合指標(biāo))的個數(shù)，并建立主成分議程。
每個主成分yk的貢獻(xiàn)率等于它的特征值λk除以原始指標(biāo)個數(shù)p，累計(jì)貢獻(xiàn)率等于各主成分貢獻(xiàn)率順序相加，根據(jù)一定的選擇標(biāo)準(zhǔn)，如果前r個主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率大于或等于80%，(r
y1=l11x1+l12x2+…l1pxp
y2=l21x1+l22x2+…l2pxp
………………………
yp=lr1x1+lr2x2+…lrpxp
(5)解釋各主成分的意義，并將各單位的原始數(shù)據(jù)代入方程中計(jì)算綜合評價值進(jìn)行分析比較。在多指標(biāo)綜合評價中，一般只需取第一個主成分y1作為全面反映各指標(biāo)狀況的綜合指標(biāo)，因?yàn)樗�綜合原始指標(biāo)信息的能力最強(qiáng)。然后，根據(jù)這個綜合指標(biāo)值進(jìn)行各參評單位的比較評價。