期貨從業資格考試基礎知識輔導：久期公式的部分數學解釋
來源：網絡發布時間：2010-08-01
『久期，全稱麥考雷久期－Macaulay duration， 數學定義
如果市場利率是Y，現金流（X1,X2,...,Xn）的麥考雷久期定義為：
D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n]
即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx
其中，PVXi表示第i期現金流的現值，D表示久期。
通過下面例子可以更好理解久期的定義。
例子：假設有一債券，在未來n年的現金流為（X1,X2,...Xn），其中Xi表示第i期的現金流。假設現在利率為Y0，投資者持有現金流不久，利率立即發生變化，變為Y，問：應該持有多長時間，才能使得其到期的價值不低于現在的價值？
通過下面定理可以快速解答上面問題。
定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要條件是q=D(Y0)。這里D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0)
q即為所求時間，即為久期。
上述定理的證明可通過對Y導數求倒數，使其在Y＝Y0取局部最小值得到。（容易）』
【糾錯】
