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高等數學（一）命題預測試卷（二）
一、選擇題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）
1． 設 的定義域為 ， ，則復合函數 的定義域為
（ ）
A．（0，1） B．
C． D．
2．函數 在點 處二階可導，且 ，則對于
與 ，有（ ）
A． B．
C． D．
3．與三個坐標軸夾角均相等的單位向量為（ ）
A． B．
C． D．
4．冪級數 的收斂區間為（ ）
A． B．
C． D．
5．方程 的通解為（ ）
A． B．
C． D．

二、填空題（本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．設 ，則 ．
7． = ．
8．設 可導，則 ．
9．函數 在 上的最大值為 ．
10． ．
11． ．
12．設 為 的一個原函數，則 ．
13．設 ，則 ．
14．設 ，則 ．
15．改變二次積分 的次序，則I= ．

三、解答題（本大題共13個小題，共90分。解答寫出推理、演算步驟）
16．（本題滿分6分）
計算 ．



17．（本題滿分6分）
計算 ．




18．（本題滿分6分）
把函數 展開為 的冪級數，并寫出其收斂區間．




19．（本題滿分6分）
求方程 的通解．




20．（本題滿分）
求過點（0，0，0）且與平面 ： 及 ： 同時平行的直線方程．




21．（本題滿分6分）
設函數 由方程 確定，其中F是可微函數，m與n為常數，求 ．



22．（本題滿分6分）
求函數 的極值及對應曲線的拐點．




23．（本題滿分6分）
計算二重積分 ，其中 ： ．




24．（本題滿分6分）
用級數的逐項求導或逐項求積運算，求級數 的和函數．




25．（本題滿分6分）
設 由方程組 確定，求 ．




26．（本題滿分10分）
求由曲線 與直線 所圍圖形面積．




27．（本題滿分10分）
設 ，證明方程
在 內至少有一個實根．




28．（本題滿分10分）
設由方程 確定 ，求 及 ．




參考答案
一、選擇題
1．D 2．C 3．C 4．C 5．B
二、填空題
6． 7．－1
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答題
16．解 當 時， ，故 為有界變量
而 為無窮小量
故
另外（令 ），

故原式= ．
17．解 （令 ）


18．解

由 ，解得收斂區間為 ．
19．解 對應齊次方程的特征方程為 ，得
因此對應齊次方程的通解為
由于原方程的自由項中，－2是特征方程的單根，
故設原方程的一個特解為 ，代入所給方程，并消去
，得 ，于是
從而原方程的解為
．
20．解 的法線向量 ， 的法線向量
故所求直線的方向向量可取為
故所求直線方程為 ．
21．解 設 ，則
故


從而

故
22．解
令 ，得
又
． 為極大值點，極大值為 再令 ，得 ，列表如下
0 2
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐點 下凹 拐點 上凹
故此曲線有兩個拐點 與 ．
23．解 ．
24．解 令
則
于是

25．解 由方程組的第一個方程式對 求導得
由方程組的第二個方程式對 求導得
得
因此
又 時，由方程組可得
故 ．
26．解 如右圖，聯立方程
得兩曲線的一個交點為（－1，1）
聯立方程 ，得兩曲線的
交點為（－1，1）
故



27．證 令
則
從而
由羅爾定理知 使
即
故方程 在 內至少
有一個實根．
28．解 設
則


故