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高等數學（一）命題預測試卷（三）
一、選擇題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）
1．設函數 ，則 在點 處（ ）
A．可導 B．不連續
C．連續，但不可導 D．可微
2．方程 滿足定解條件 的特解是（ ）
A． B．
C． D．
3．設 ，則當 時（ ）
A． 是比 高階的無窮小 B． 是比 低階的無窮小
C． 與 為同階無窮小 D． 與 為等階無窮小
4．冪級數 的收斂區間為（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空題（本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．如果 ，那么 ．
7． ．
8．設函數 ，則在點 處， 間斷．
9．設函數 在點 處有 ，那么 ．
10． ．
11． ．
12．過點（0，2，4）且與兩平面 平行的直線方程（標準式）為 ．
13．改變二次積分 的次序，則I = ．
14．微分方程 的通解為 ．
15．已知 ，且 ，則 ．

三、解答題（本大題共13個小題，共90分。解答寫出推理、演算步驟）
16．（本題滿分6分）
設 ，問k為何值時，函數 在其定義域內連續．




17．（本題滿分6分）
設 ，求 ．




18．（本題滿分6分）
求由方程 所確定的隱函數 的導數 ．




19．（本題滿分6分）
討論函數 在點 處的連續性與可導性．



20．（本題滿分6分）
設 ，求 ．



21．（本題滿分6分）
判別級數 的斂散性．




22．（本題滿分6分）
求函數 的麥克勞林展開式（須指出收斂區間）．



23．（本題滿分6分）
求解 ．



24．（本題滿分6分）
計算 ．



25．（本題滿分6分）
設 ，求 ．



26．（本題滿分10分）
設函數的圖形上有一拐點P（2，4），在拐點P處曲線的切線斜率為－3，又知該函數的二階導數 ．求此函數．



27．（本題滿分10分）
對某個量 進行 次測量，得 個測量值： ．試證：當 取這 個數的算術平均值 時所產生的誤差的平方和 最小．




28．（本題滿分10分）
設 ，求 ．




參考答案
一、 選擇題
1．C 2．D 3．C 4．D 5．C
二、填空題
6． 7．0
8． 9．1
10． 11．
12． 13．
14． 15．2
三、解答題
16．解 函數 的定義域為 ， 在 和 均為初等函數
故 在 和 上連續。
當 時， ，
，
故 ，而 ．
故 ．
17．解 令 ，則 ，
故
由于u對自變量具有對稱性．
故
從而
同理
因而 ．
18．解
兩邊對 求導，得

即 ．
19．解 為有界變量，而 時， 為無窮小量．

故 ，即 在 處連續
又

即 不存在，故 在 處不可導．
20．解 由定積分性質將 化為

故

．
21．解
又 發散，故級數 發散．
22．解
而

故
23．解 對應齊次方程的特征方程為 ，得
故齊次方程的通解為
令原方程的特解為
對 求二階導數并代入原方程后，得 ，從而

故原方程的通解為

又 得 即
因而所求的特解為 ．
24．解





故

．
25．解

故 ．
26．解 設所求函數 ，則由 ，得

（ 為任意常數）
由題意，有
．
即 得
故所求函數為 ．
27．證 令
則
由 得駐點
由于
故 為惟一的極小值點，從而它也是在 內的最小值點
即當 取 時， 為最小．
28．解 令


兩邊對 積分，得
即


故 ．