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高等數(shù)學(xué)（一）命題預(yù)測(cè)試卷（三）
一、選擇題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）
1．設(shè)函數(shù) ，則 在點(diǎn) 處（ ）
A．可導(dǎo) B．不連續(xù)
C．連續(xù)，但不可導(dǎo) D．可微
2．方程 滿(mǎn)足定解條件 的特解是（ ）
A． B．
C． D．
3．設(shè) ，則當(dāng) 時(shí)（ ）
A． 是比 高階的無(wú)窮小 B． 是比 低階的無(wú)窮小
C． 與 為同階無(wú)窮小 D． 與 為等階無(wú)窮小
4．冪級(jí)數(shù) 的收斂區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，則 等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空題（本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．如果 ，那么 ．
7． ．
8．設(shè)函數(shù) ，則在點(diǎn) 處， 間斷．
9．設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處有 ，那么 ．
10． ．
11． ．
12．過(guò)點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面 平行的直線方程（標(biāo)準(zhǔn)式）為 ．
13．改變二次積分 的次序，則I = ．
14．微分方程 的通解為 ．
15．已知 ，且 ，則 ．

三、解答題（本大題共13個(gè)小題，共90分。解答寫(xiě)出推理、演算步驟）
16．（本題滿(mǎn)分6分）
設(shè) ，問(wèn)k為何值時(shí)，函數(shù) 在其定義域內(nèi)連續(xù)．




17．（本題滿(mǎn)分6分）
設(shè) ，求 ．




18．（本題滿(mǎn)分6分）
求由方程 所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ．




19．（本題滿(mǎn)分6分）
討論函數(shù) 在點(diǎn) 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性．



20．（本題滿(mǎn)分6分）
設(shè) ，求 ．



21．（本題滿(mǎn)分6分）
判別級(jí)數(shù) 的斂散性．




22．（本題滿(mǎn)分6分）
求函數(shù) 的麥克勞林展開(kāi)式（須指出收斂區(qū)間）．



23．（本題滿(mǎn)分6分）
求解 ．



24．（本題滿(mǎn)分6分）
計(jì)算 ．



25．（本題滿(mǎn)分6分）
設(shè) ，求 ．



26．（本題滿(mǎn)分10分）
設(shè)函數(shù)的圖形上有一拐點(diǎn)P（2，4），在拐點(diǎn)P處曲線的切線斜率為－3，又知該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) ．求此函數(shù)．



27．（本題滿(mǎn)分10分）
對(duì)某個(gè)量 進(jìn)行 次測(cè)量，得 個(gè)測(cè)量值： ．試證：當(dāng) 取這 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值 時(shí)所產(chǎn)生的誤差的平方和 最小．




28．（本題滿(mǎn)分10分）
設(shè) ，求 ．




參考答案
一、 選擇題
1．C 2．D 3．C 4．D 5．C
二、填空題
6． 7．0
8． 9．1
10． 11．
12． 13．
14． 15．2
三、解答題
16．解 函數(shù) 的定義域?yàn)?， 在 和 均為初等函數(shù)
故 在 和 上連續(xù)。
當(dāng) 時(shí)， ，
，
故 ，而 ．
故 ．
17．解 令 ，則 ，
故
由于u對(duì)自變量具有對(duì)稱(chēng)性．
故
從而
同理
因而 ．
18．解
兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得

即 ．
19．解 為有界變量，而 時(shí)， 為無(wú)窮小量．

故 ，即 在 處連續(xù)
又

即 不存在，故 在 處不可導(dǎo)．
20．解 由定積分性質(zhì)將 化為

故

．
21．解
又 發(fā)散，故級(jí)數(shù) 發(fā)散．
22．解
而

故
23．解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，得
故齊次方程的通解為
令原方程的特解為
對(duì) 求二階導(dǎo)數(shù)并代入原方程后，得 ，從而

故原方程的通解為

又 得 即
因而所求的特解為 ．
24．解





故

．
25．解

故 ．
26．解 設(shè)所求函數(shù) ，則由 ，得

（ 為任意常數(shù)）
由題意，有
．
即 得
故所求函數(shù)為 ．
27．證 令
則
由 得駐點(diǎn)
由于
故 為惟一的極小值點(diǎn)，從而它也是在 內(nèi)的最小值點(diǎn)
即當(dāng) 取 時(shí)， 為最小．
28．解 令


兩邊對(duì) 積分，得
即


故 ．