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高等數(shù)學(xué)（一）命題預(yù)測(cè)試卷（一）
一、選擇題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）
1．設(shè) ，則 等于（ ）
A． B．
C． D．
2．設(shè)平面 ： ，直線 ： ，則它們的位置關(guān)系是（ ）
A．直線 與平面 平行 B．直線 與平面 垂直
C．直線 與平面 上 D．直線 與平面 有一個(gè)交點(diǎn)但不垂直
3．下列級(jí)數(shù)中為絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
4．對(duì)于微分方程 ，利用待定系數(shù)法求其特解 時(shí)，下列特解設(shè)法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列廣義積分收斂的是（ ）
A． B． C． D．

二、填空題（本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分。把答案填在題中橫線上）
6．設(shè) ，則函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間為 。
7．曲線 ： 在 處的切線方程為 。
8．設(shè) ，則 = 。
9．設(shè) ，且 ，則 。
10．積分 。
11．平行于 軸且經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)的平面方程為 。
12．與向量 垂直的單位向量為 。
13．冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑R = 。
14．微分方程 的通解為 。
15．設(shè) 在 ： 上連續(xù)，則
= 。

三、解答題（本大題共13個(gè)小題，共90分。解答寫出推理、演算步驟）
16．（本題滿分6分）
求 ．




17．（本題滿分6分）
設(shè)函數(shù) 由方程 確定，求 ．




18．（本題滿分6分）
設(shè) 均為函數(shù) 的極值點(diǎn)，求 的值．



19．（本題滿分6分）
計(jì)算 ．



20．（本題滿分6分）
設(shè) ，計(jì)算 ．



21．（本題滿分6分）
計(jì)算 ，其中 ： ．



22．（本題滿分6分）
設(shè) 由 所確定，求 ．





23．（本題滿發(fā)6分）
求以點(diǎn)（0，0，1）為頂點(diǎn)，橢圓 為準(zhǔn)線的錐面方程。



24．（本題滿分6分）
把函數(shù) 展開為 的冪級(jí)數(shù)，并寫出它的收斂區(qū)間。




25．（本題滿分6分）
求解方程 ．



26．（本題滿分10分）
討論曲線 的凹凸性并求其拐點(diǎn)．




27．（本題滿分10分）
設(shè)連續(xù)函數(shù) 滿足方程 ，求 ．




28．（本題滿分10分）
設(shè) 可導(dǎo)，求證： ．



參考答案
一、 選擇題
1．B 2．D 3．B 4．C 5．B
二、填空題
6． 7．
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答題
16．解

17．解 把 代入 ，得
方程兩邊求導(dǎo)，得
將 代入上式
故 即 ．
18．解
由 在 時(shí)為極值點(diǎn)知
于是 解得
19．解
而對(duì)于 ，令 ，則
=
故


20．解







21．解

．
22．解 由方程 得
故
從而 ．
23．解 過橢圓上任一點(diǎn) 的母線方程為

故
又 在橢圓上
故 ，即
從而錐面方程為 ．
24．解

由 解出收斂區(qū)間為（－1，1）．
25．解 對(duì)應(yīng)的齊次方程 ，即
解得通解為
將C換成 ，即
代入原方程，得 ，知
即
從而原方程的通解為
將初始條件代入，得
于是所求解為 ．
26．解 先求其二階導(dǎo)數(shù)
令 得
列表如下討論其凹凸性
0 1
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐點(diǎn)（0，1） 下凹 拐點(diǎn)（1，0） 上凹

27．解 已知方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得
即
于是根據(jù)一階線性方程的求解公式，得



又由已知方程知， ，則 ，知
故所求函數(shù) 為 ．
28．證 令
則

于是