2010年自學考試《高等數學(一)》復習指導(4)

　　五、多元函數微積分學

　　(一)多元函數微分學

　　1.知識范圍

　　(1)多元函數

　　多元函數的定義 二元函數的幾何意義 二元函數極限與連續的概念

　　(2)偏導數與全微分

　　偏導數 全微分 二階偏導數

　　(3)復合函數的偏導數

　　(4)隱函數的偏導數

　　(5)二元函數的無條件極值與條件極值

　　2.要求

　　(1)了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義。會求二次函數的表達式及定義域。了解二元函數的極限與連續概念(對計算不作要求)。

　　(2)理解偏導數概念，了解偏導數的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

　　(3)掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法。

　　(4)掌握復合函數一階偏導數的求法。

　　(5)會求二元函數的全微分。

　　(6)掌握由方程 所確定的隱函數 的一階偏導數的計算方法。

　　(7)會求二元函數的無條件極值。會用拉格朗日乘數法求二元函數的條件極值。

　　(二)二重積分

　　1.知識范圍

　　(1)二重積分的概念

　　二重積分的定義二重積分的幾何意義

　　(2)二重積分的性質

　　(3)二重積分的計算

　　(4)二重積分的應用

　　2.要求

　　(1)理解二重積分的概念及其性質。

　　(2)掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

　　(3)會用二重積分解決簡單的應用問題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區域的體積、平面薄板質量)。

　　六、無窮級數

　　(一)數項級數

　　1.知識范圍

　　(1)數項級數

　　數項級數的概念 級數的收斂與發散 級數的基本性質 級數收斂的必要條件

　　(2)正項級數收斂性的判別法

　　比較判別法 比值判別法

　　(3)任意項級數交錯級數 絕對收斂 條件收斂 萊布尼茨判別法

　　2.要求

　　(1)理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。

　　(2)掌握正項級數的比值判別法。會用正項級數的比較判別法。

　　(3)掌握幾何級數、調和級數與級數的收斂性。

　　(4)了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

　　(二)冪級數

　　1.知識范圍

　　(1)冪級數的概念

　　收斂半徑 收斂區間

　　(2)冪級數的基本性質

　　(3)將簡單的初等函數展開為冪級數

　　2.要求

　　(1)了解冪級數的概念。

　　(2)了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和、差、逐項求導與逐項積分)。

　　(3)掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間(不要求討論端點)的方法。

　　(4)會運用麥克勞林(Maclaurin)公式，將一些簡單的初等函數展開為冪級數。

　　七、常微分方程

　　(一)一階微分方程

　　1.知識范圍

　　(1)微分方程的概念

　　微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解

　　(2)可分離變量的方程

　　(3)一階線性方程

　　2.要求

　　(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

　　(2)掌握可分離變量方程的解法。

　　(3)掌握一階線性方程的解法。

　　(二)可降價方程

　　1.知識范圍

　　(1) 型方程

　　(2) 型方程

　　2.要求

　　(1)會用降階法解 型方程。

　　(2)會用降階法解 型方程。

　　(三)二階線性微分方程

　　1.知識范圍

　　(1)二階線性微分方程解的結構

　　(2)二階常系數齊次線性微分方程

　　(3)二階常系數非齊次線性微分方程

　　2.要求

　　(1)了解二階線性微分方程解的結構。

　　(2)掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

　　(3)掌握二階常系數非齊次線性微分方程的解法。

　　考試形式及試卷結構

　　試卷總分：150分

　　考試時間：150分鐘

　　考試方式：閉卷，筆試

　　試卷內容比例：

　　函數、極限和連續 約15%

　　一元函數微分學 約25%

　　一元函數積分學 約20%

　　多元函數微積分(含向量代數與空間解析幾何) 約20%

　　無窮級數 約10%

　　常微分方程 約10%

　　試卷題型比例：

　　選擇題 約15%

　　填空題 約25%

　　解答題 約60%

　　試題難易比例：

　　容易題 約30%

　　中等難度題 約50%

　　較難題 約20%