公務(wù)員考試培訓(xùn)網(wǎng)

　　數(shù)學(xué)運(yùn)算當(dāng)中的“牛吃草問(wèn)題”是學(xué)生們普遍反映得較為困難的一類題型，華圖老師綜合多次教學(xué)中的授課經(jīng)驗(yàn)和學(xué)員反饋，對(duì)牛吃草問(wèn)題做如下總結(jié)：

　　在授課過(guò)程中，每當(dāng)講到牛吃草問(wèn)題的時(shí)候，總是先做一番假設(shè)，在草地上有一牧場(chǎng)草和在我們教室有一地牧草供牛來(lái)吃是一樣的嗎？總是有的同學(xué)說(shuō)一樣，也就是說(shuō)其實(shí)在這類問(wèn)題中有一部分考生并沒(méi)有注意到牛吃草問(wèn)題其實(shí)草的量是變化的，把它當(dāng)作一個(gè)簡(jiǎn)單的消耗問(wèn)題來(lái)解答，必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。但大部分學(xué)生還是會(huì)注意到牛吃草問(wèn)題牧場(chǎng)中的草的量是變化的這一問(wèn)題。

　　對(duì)該類問(wèn)題的解答，授課當(dāng)中筆者嘗試使用過(guò)多種方法講授，從學(xué)生反饋的學(xué)習(xí)效果來(lái)看，學(xué)生普遍認(rèn)為以下兩種方法較易于理解：

　　例題1：一個(gè)牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天、15頭牛吃10天，可供多少頭牛吃4天？

　　方法一：將“牛吃草問(wèn)題”想象成一個(gè)非常理想化的數(shù)學(xué)模型：假設(shè)總的牛當(dāng)中有X頭是“剪草工”，這X頭牛只負(fù)責(zé)吃“每天新長(zhǎng)出的草，并且把它們吃完”，這樣草場(chǎng)相當(dāng)于不長(zhǎng)草，永遠(yuǎn)維持原來(lái)的草量，也就成為了一個(gè)簡(jiǎn)單的消耗性問(wèn)題了，而剩下的(27－X)頭牛是真正的“顧客”，它們負(fù)責(zé)把草場(chǎng)原來(lái)的草吃完。便可以根據(jù)幾次“顧客”牛的數(shù)量*時(shí)間這個(gè)量相等，也就是牧場(chǎng)原本的一地草量相等來(lái)列方程。   

　　例題解析：設(shè)每天新增加草量恰可供X頭牛吃一天，N頭牛可吃4天(后面所有X均為此意)

　　可供10頭牛吃20天，  列式：(10－X)*20

　　即：(10－X)頭牛20天把草場(chǎng)吃完

　　可供15頭牛吃10天，  列式：(15－X)*10

　　即：(15－X)頭牛9天把草場(chǎng)吃完

　　可供幾頭牛吃4天？    列式：(N－X)*4

　　即：(N－X)頭牛4天把草場(chǎng)吃完

　　因?yàn)椴輬?chǎng)草量新長(zhǎng)出的草已被“剪草工”修理掉，而牧場(chǎng)中原有草量相同，所以，聯(lián)立上面三個(gè)式子

　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10＝(N－X)*4

　　左右兩邊各為一個(gè)方程，即：

　　(10－X)*20 ＝(15－X)*10  【1】

　　(15－X)*10＝(N－X)*4     【2】

　　解這個(gè)方程組，得  X＝5(頭)    Y＝30(頭)

　　方法二：將“牛吃草問(wèn)題”與工程問(wèn)題當(dāng)中的干擾問(wèn)題相結(jié)合。例如：工程問(wèn)題中有這樣一類題目：

　　例題2：(2003年國(guó)家B類第11題)一個(gè)浴缸放滿水需要30分鐘，排光一浴缸水需要50分鐘，假如忘記關(guān)上出水口，將這個(gè)浴缸放滿水需要多少分鐘(   )

　　A.65                B.75                C.85                 D.95

　　題目當(dāng)中敘述了一缸水有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管同時(shí)打開，而進(jìn)行把一個(gè)浴缸放滿水的效果，進(jìn)水管的效率大于出水管的效率，也就是兩個(gè)水管同時(shí)工作的總效率為：進(jìn)水管工作效率-出水管工作效率。我們假設(shè)工程總量為1，于是進(jìn)水的效率為1/30，出水的效率為1/50。那么根據(jù)工作總量=工作效率*工作時(shí)間可以列出如下方程：(1/30-1/50)*t=1。解方程便可以得知同時(shí)開放兩個(gè)水管把浴缸放滿要75分鐘。此題當(dāng)中是一個(gè)進(jìn)水管做正功，一個(gè)出水管做負(fù)功，最后達(dá)到將一個(gè)空浴缸放滿水的效果這樣一類問(wèn)題的方法可以總結(jié)為(進(jìn)水效率-出水效率)*時(shí)間=一個(gè)浴缸的水。而牛吃草問(wèn)題與之類似，只是牛吃草問(wèn)題是牧場(chǎng)原有一地草，經(jīng)過(guò)了牛吃和長(zhǎng)草兩個(gè)同時(shí)進(jìn)行的過(guò)程后，一地草消失了。與給浴缸放水問(wèn)題的差異是，浴缸放水問(wèn)題進(jìn)水效率大于出水效率，最后達(dá)到空缸變滿缸的效果。而牛吃草問(wèn)題，吃草效率大于長(zhǎng)草效率，最后達(dá)到了滿地草變成空地的效率。于是可以找出與浴缸放水類似的等量關(guān)系：(牛吃草的效率-草地長(zhǎng)草的效率)*時(shí)間=一個(gè)牧場(chǎng)的草。而此時(shí)就需要我們假設(shè)一頭牛一天只吃一棵草，那么牛吃草的效率在數(shù)量上便可以等價(jià)于牛的數(shù)量，于是該等量關(guān)系變成：(牛的數(shù)量-草地長(zhǎng)草效率)*時(shí)間=一個(gè)牧場(chǎng)草。而其中“草地長(zhǎng)草效率”和“一個(gè)牧場(chǎng)的草”兩個(gè)概念都是未知量，我們分別把它們?cè)O(shè)為X和Y,根據(jù)題目當(dāng)中的條件，可以列出下列方程：

　　(10－X)*20

　　＝Y(jié)  【1】

　　(15－X)*10

　　＝Y(jié)  【2】

　　解這個(gè)方程組，得  X＝5(頭)    Y＝100(棵)

　　再假設(shè)草地上的草N牛可吃4天，可以列出下面一個(gè)方程：

　　(N－5)*4 ＝100，解方程得：N=30(頭)

　　我們發(fā)現(xiàn)用兩種方法求解，其分析過(guò)程不同和假設(shè)的關(guān)系不同，但最后列出的方程其實(shí)是同樣的形式。在實(shí)際授課中發(fā)現(xiàn)后一種方法學(xué)生接受起來(lái)更加容易一些，而且這種方法較易推廣。近年來(lái)國(guó)考和省考中對(duì)牛吃草問(wèn)題的考察較多，但已經(jīng)完全不見(jiàn)“牛吃草”的表述，有些省份的考題甚至簡(jiǎn)單從其外觀無(wú)法發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題是“牛吃草問(wèn)題”。

　　例題3：(2008年江蘇C類第19題)在春運(yùn)高峰時(shí)，某客運(yùn)中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊(duì)以等速度進(jìn)入大廳按次序等待買票，買好票的旅客及時(shí)離開大廳。按照這種安排，如果開出10個(gè)售票窗口，5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票；如果開12個(gè)售票窗口，3小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票，假設(shè)每個(gè)窗口售票速度相同。由于售票大廳票窗口，大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時(shí)內(nèi)使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應(yīng)開售票窗口數(shù)為

　　A.15                B.16                C.18                D.19

　　對(duì)于此題已經(jīng)完全不見(jiàn)其中有牛和草的字樣，但仔細(xì)分析題目，發(fā)現(xiàn)其實(shí)本題也是售票大廳原來(lái)站滿了旅客，而同時(shí)存在售票使旅客離開和有旅客進(jìn)入大廳買票兩個(gè)效率，而旅客離開的效率大于進(jìn)入大廳的效率，于是最后售票大廳中的全部旅客成功購(gòu)票離開。也就是滿大廳變?yōu)榭沾髲d。這樣分析這個(gè)過(guò)程其實(shí)和牛吃草是一樣的，有如下等量關(guān)系：(售票效率-進(jìn)入旅客效率)*時(shí)間=大廳中原有旅客數(shù)量。這樣可以列出如下方程組：

　　(10－X)*5

　　＝Y(jié)  【1】

　　(12－X)*3

　　＝Y(jié)  【2】

　　解這個(gè)方程組，得  X＝7(人)    Y＝15(人)

　　再假設(shè)所求窗口數(shù)為N，(N-1.5*7)*2＝15，解方程得：N=18(個(gè))

　　綜合以上兩個(gè)問(wèn)題，“牛吃草問(wèn)題”實(shí)際上是一個(gè)消耗和生產(chǎn)的問(wèn)題，只是消耗量效率大于生產(chǎn)效率，于是等量關(guān)系變成：(消耗效率-生產(chǎn)效率)*時(shí)間=原有量即前后差異量。這樣便無(wú)需仔細(xì)分析其中的過(guò)程便可以應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系來(lái)列方程，而與假設(shè)1牛1天吃1棵草類似，該等量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為(消耗者數(shù)量-生產(chǎn)效率)*時(shí)間=前后差異量。

　　得出這樣一個(gè)等量關(guān)系，考生在應(yīng)試當(dāng)中只要遇到同時(shí)有消耗和產(chǎn)出的前后變化問(wèn)題，都可以用該等量關(guān)系求解。便使這一類學(xué)生視為難點(diǎn)的“牛吃草問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的代公式過(guò)程，從而輕松解決。