2012考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)框架(6)

　　一些特殊的矩陣：單位陣、對(duì)角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。

　　每一個(gè)初等矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)初等變換，因?yàn)樽蟪说男问綖镻A(P為初等矩陣)，將A寫成行向量組的形式，PA意味著對(duì)A做了一次初等行變換;同理，AP意味著對(duì)A做了一次初等列變換，故左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

　　第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行(列)展開。

　　矩陣可逆，行列式不為零，行(列)向量組線性無關(guān)，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。

　　單位陣和初等矩陣都是可逆的。

　　若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因?yàn)槌醯染仃嚌M秩，故比較后化成的階梯型(比較簡形)中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于列數(shù)，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對(duì)應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左(右)乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因?yàn)閱挝魂囋诔朔e中可略去。

　　可逆矩陣作為因子不會(huì)改變被乘(無論左乘右乘)的矩陣的秩。

　　由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結(jié)果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊�，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對(duì)應(yīng)行變換，右乘對(duì)應(yīng)列變換。

　　矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個(gè)整體，對(duì)這些被看作是整體的對(duì)象構(gòu)成的新的矩陣，運(yùn)算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實(shí)際也就是一種比較常見的對(duì)矩陣進(jìn)行分塊的方式。