2012考研數學：線性代數知識點框架(2)

　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題(1)解的存在性問題和(2)如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的比較基本理論。

　　對于n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用系數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個數。

　　通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質都有助于我們更方便的計算行列式。

　　用系數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容。

　　在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數和常數項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序數組的數量乘法和加法運算。

　　數域上的n元有序數組稱為n維向量。設向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個分量。

　　n元有序數組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質區別，只是元素的寫法不同。

　　矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯系。

　　對給定的向量組，可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結論的雙向作用。

　　從簡單例子(如幾何空間中的三個向量)可以看到，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關和線性無關的定義。

　　通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關(零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等)。

　　從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關和線性無關的本質。