2012考研數(shù)學：線性代數(shù)知識點框架(2)

　　利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題(1)解的存在性問題和(2)如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起來的比較基本理論。

　　對于n個方程n個未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組(或矩陣)的行列式。行列式的特點：有n!項，每項的符號由角標排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。

　　通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)(如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等)，這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。

　　用系數(shù)行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

　　總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一部分內(nèi)容。

　　在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運算。

　　數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個分量。

　　n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。

　　矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。

　　對給定的向量組，可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結(jié)論的雙向作用。

　　從簡單例子(如幾何空間中的三個向量)可以看到，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數(shù)更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。

　　通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)(零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等)。

　　從多個角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。