2012考研數學：線性代數知識點框架(5)

　　在之前研究線性方程組的解的過程當中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應用，故還有必要對矩陣及其運算進行專門探討。

　　矩陣的加法和數乘，與向量的運算類同。

　　矩陣的另外一個重要應用：線性變換(比較典型例子是旋轉變換)。即可以把一個矩陣看作是一種線性變換在數學上的表述。

　　矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對應的是旋轉一個角度a，矩陣B對應的是旋轉一個角度b，則矩陣AB對應的是旋轉一個角度a+b。

　　矩陣乘法的特點：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應乘積之和;A的列數要和B的行數相同;C的行數是A的行數，列數是B的列數。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結合律。

　　利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為：Ax=b。

　　對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩;將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，比較終可得到結論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩。

　　關于矩陣乘積的另外一個重要結論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。