2012考研數學：線性代數知識點框架(3)

　　部分組線性相關，整個向量組線性相關。向量組線性無關，延伸組線性無關。

　　回到線性方程組的解的問題，即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,...,an線性表出?如果這個向量組本身是線性無關的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關。如果這個向量組本身是線性相關的，則需進一步探討。

　　任意一個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數找到它的一個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關，從向量組的其余向量中任取一個進去，得到的新的向量組都線性相關，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關組。

　　如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價。

　　一個向量組可能又不止一個極大線性無關組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關組等價。

　　注意到一個重要事實：一個線性無關的向量組不能被個數比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個向量(對應線性無關)的確不可能由平面內的兩個向量組成的向量組線性表出。

　　一個向量組的任意兩個極大線性無關組所含的向量個數相等，我們將這個數目r稱為向量組的秩。

　　向量線性無關的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數目。等價的向量組有相同的秩。

　　有了秩的概念以后，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

　　向量組的秩是一個自然數，由這個自然數就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，由此可見，秩是一個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。