高考數學考點突破復習：解答題的解法
1．(2009·陜西理)某食品企業一個月內被消費者投訴的次數用ξ表示，據統計，隨機
變量ξ的概率分布如下表：
ξ0123
P0.10.32aa
(1)求a的值和ξ的數學期望；
(2)假設一月份與二月份被消費投訴的次數互不影響，求該企業在這兩個月內共被
消費者投訴2次的概率．
解：(1)由概率分布的性質有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，
解得a＝0.2.
∴ξ的概率分布為
ξ0123
P0.10.30.40.2
∴Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)設事件A表示"兩個月內共被投訴2次；事件A1表示"兩個月內有一個月被投
訴2次，另一個月被投訴0次"；事件A2表示"兩個月均被投訴1次"．
則由事件的獨立性得
P(A1)＝C12P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故該企業在這兩個同月共被消費者投訴2次的概率為0.17.
2．已知向量a＝(4cos B，3cos 2B－2cos B)，
b＝sin2π4＋B2，1，f(B)＝a·b.
(1)若f(B)＝2，且0
(2)若對任意的B∈0，π2，f(B) －m>2恒成立，求實數m的取值范圍．
解：(1)f(B)＝a·b＝4cos B·sin2π4＋B2＋3cos 2B－2cos B
＝ 2cos B1－cos 2π4＋B2＋3cos 2B－2cos B
＝－2cos B·cosπ2＋B＋3cos 2B
＝2cos Bsin B＋3cos 2B
＝sin 2B＋3cos 2B＝2sin2B＋π3
∵f(B)＝2
∴2sin2B＋π3＝2即sin2B＋π3＝1
∵B∈(0，π)
∴2B＋π3∈π3，7π3
∴2B＋π3＝π2
∴B＝π12.
(2)由(1)知f(B)＝2sin(2B＋π3)，又0
∴π3<2B＋π3<4π3，∴－32
∴－3<2sin2B＋π3≤2，
∵f(B)－m>2恒成立，
∴m
∴m<－3－2，即m∈(－∞，－3－2)．
3．已知數列{an}的前n項和為Sn且a1＝12，an＝－2SnSn－1(n≥2)．
(1)數列1Sn是否為等差數列？請證明你的結論；
(2)求Sn和an；
(3)求證：S21＋S22＋S23＋…＋S2n≤12－14n.
(1)解：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
由已知得：Sn－Sn－1＝－2SnSn－1(*)
又∵a1＝12，
∴Sn與Sn－1不可能為0.
∴(*)式可化為1Sn－1－1Sn＝－2，
即1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)，
∴1Sn是等差數列，公差d＝2.
(2)解：由(1)知 1Sn＝1S1＋(n－1)·2
＝1a1＋(n－1)·2＝2n，
∴Sn＝12n.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－12n n－1 ，
∴an＝12 n＝1 ，－12n n－1 n≥2 .
(3)證明：由(2)知，Sn＝12n，
∴S21＋S22＋S23＋…＋S2n
＝122＋142＋162＋…＋12n2
＝141＋122＋132＋…＋1n2
≤141＋11×2＋12×3＋ …＋1n n－1
＝141＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n
＝142－1n＝12－14n.
∴S21＋S22＋…＋S2n≤12－14n.
當且僅當n＝1時等號成立．
4．(2010·萊蕪調研)設x＝0是函數f(x)＝(x2＋ax＋b)ex(x∈R)的一個極值點．
(1)求a與b的關系式(用a表示b)，并求f(x)的單調區間；
(2)設a>0，g(x)＝－(a2－a＋1)ex＋2，問是否存在ξ1，ξ2∈[－2，2]，使得|f(ξ1)－
g(ξ2)|≤1成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．
解：(1)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋b]ex
由f′(0)＝0，得b＝－a
∴f(x)＝(x2＋ax－a)ex
f′(x)＝[x2＋(a＋2)x]ex＝x(x＋a＋2)ex
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a－2
由于x＝0是f(x)極值點，故x1≠x2，即a≠－2
當a<－2時，x1
當a>－2時，x1>x2 ，故f(x)的單調增區 間是(－∞，－a－2]和[0，＋∞)，單調減區
間是(－a－2,0)．
(2)當a>0時，－a－2<－2，f(x)在[－2,0]上 單調遞減，在[0,2]上單調遞增，因此f(x)在[－2,2]上的值域為
[f(0)，max{f(－2)，f(2)}]＝[－a，(4＋a)e2]
而g(x)＝－(a2－a＋1)ex＋2＝－a－122＋34ex＋2在[－2,2]上單調遞減，
所以值域是[－(a2－a＋1)e4，－(a2－a＋1)]
因為在[－2,2]上，f(x)min－g(x)max＝－a＋(a2－a＋1)
＝(a－1)2≥0
所以，a只須滿足a>0，－a＋ a2－a＋1 ≤1.
解得0
即當a∈(0,2]時，存在ξ1、ξ2∈[－2,2]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|≤1成立．
5．如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠FAB＝90°，BC綊12AD，BE綊12FA，G、H分別為FA、FD的中點．
(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？
(3)設AB＝BE，證明：平面ADE⊥平面CDE.
方法一：(1)證明：由題設知，FG＝GA，
FH ＝HD，所以GH綊12AD.
又BC綊12AD，故GH綊BC.
所以四邊形BCHG是平行四邊形．
(2)解：C、D 、F、E四點共面．[來源:學_科_網]
理由如下：
由BE綊12AF，G是FA的中點知，
BE綊GF，所以EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又點D在直線FH上，所以C、
D、F、E四點共面．
圖(1)
(3)證明：如圖(1)，連結EG，由AB＝BE，BE綊AG及∠BAG＝90°知四邊形ABEG
是正方形，故B G⊥EA.由題設知，FA、AD、AB兩兩垂直，故AD⊥平面FABE，
因此EA是ED在平面FABE內的射影，根據三垂線定理，BG⊥ED.
又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.
由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.
由(2)知CH?平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.
方法二：(2)由題設知，FA、AB、AD兩兩互相垂直．
圖(2)
如圖(2)，以A為坐標原點，射線AB為x軸正方向，以射線AD為y軸正方向，以
射 線AF為 z軸正方向，建立直角坐標系A-xyz.
(1)證明：設AB＝a，BC＝b，BE＝c，則由題設得
A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0，2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)．
所以，GH→＝(0，b,0)， BC→＝(0，b,0)，于是GH→＝BC→.
又點G不在直線BC上，
所以四邊形BCHG是平行四邊形．
(2)解：C、D、F、E四點共面．
理由如下：[來源:學科網]
由題設知F(0,0,2c)，
所以EF→＝(－a,0，c)，CH→＝(－a,0，c)，EF→＝CH→.
又C?EF，H∈FD，故C、D、F、E四點共面．
(3)證明：由AB＝BE，得c＝a，
所以CH→＝(－a,0，a)，AE→＝(a,0，a)．
又AD→＝(0,2b,0)，因此CH→·AE→＝0 ，CH→· AD→＝0.
即CH⊥AE，CH⊥AD.
又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.
故由CH?平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.
6．已知過橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，
N為弦AB的中點．又函數y＝asin x＋3bcos x圖象的一條對稱軸的方程是x＝π6.
(1)求橢圓C的離心率e與直線ON的斜率；
(2)對于橢圓C上任意一點M，試證：總存在角θ(θ∈R)使等式OM→＝cos θ]＋OB→＋
sin θOB→成立．
解：(1)因為函數y＝asin x＋3bcos x圖象的一條對稱軸的方程是x＝π6，所以對任意
的實數x都有fπ6－x＝fπ6＋x，取x＝π6，得f(0)＝fπ3，整理得a＝3b.
于是橢圓C的離心率e＝ca＝a2＋b2a＝1－ba2＝1－132＝63.
由a＝3b，知橢圓C的方程可化為x2＋3y2＝3b2，①
又橢圓C的右焦點F為(2b,0)，[來源:學.科.網]
直線AB的方程為y＝x－2b，②
把②代入①展開整理，得4x2－62bx＋3b2＝0，③
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中點N(x0，y0)，則x1，x2是方程③的兩個不等的
實數根，由韋達定理，得x1＋x2＝322b，x1·x2＝34b2，④
所以x0＝x1＋x22＝324b，y0＝x0－2b＝－24b.
于是直線ON的斜率kON＝y0x0＝－13.
(2) OA→與OB→是平面內的兩個不共線的向 量，由平面向量基本定理，對于這一平面
內的向量OM→，有且只有一對實數λ，μ使得等式OM→＝λ]＋OB→＋μOB→成立，設M(x，
y)，由(1)中各點的坐標可得
(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴x＝λx1＋μx2，y＝λy1＋μy2.
又M在橢圓C上，代入①式，得(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，展開整理，得[來源:學_科_網Z_X_X_K]
λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2，⑤
又∵x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－2b)(x2－2b)＝4x1x2－32b(x1＋x2)＋6b2＝3b2－9b2
＋6b2＝0.
A，B兩點在橢圓上，故有x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2，代入⑤式化簡，得
λ2＋μ2＝1.由同角三角函數關系知道總存在角θ(θ∈R)使等式λ＝cos θ，μ＝sin θ.成立，
即OM→ ＝cos θOA→＋sin θOB→成立．
綜上所述，對于橢圓C上的任意一點M，總存在角θ(θ∈R)使等式OM→＝cos θOA→＋
sin θOB→恒成立．
(責任編輯：韓志霞)
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