高考數學考點突破復習：選擇題的解法
一、選擇題
1．設⊕是R上的一個運算，A是R的非空子集．若對任意a、b∈A，有a⊕b∈A，則
稱A對運算⊕封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法(除數不等于零)四則運算都
封閉的是 ( )
A．自然數集 B．整數集
C．有理數集 D．無理數集
解析：A：自然數集對減法，除法運算不封閉，如1－2＝－1?N，1÷2＝12?N.
B：整數集對除法運算不封閉，如1÷2＝12?Z.
C：有理數集對四則運算是封閉的．
D：無理數集對加法、減法、乘法、除法運算都不封閉．
如(2＋1)＋(1－2)＝2，
2－2＝0，2×2＝2，
2÷2＝1，其運算結果都不屬于無理數集．
答案：C
2．(2010·武漢質檢)若x，y∈R，則"x>1或y>2"是"x＋y>3"的 ( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件[來源:Zxxk.Com]
C．充分必要條件[來源:Z|xx|k.Com]
D．既不充分也不必要條件
解析：本題考查充分必要條件的判斷．
據已知若x>1或y>2?/ x＋y>3，反之研究當x＋y>3時是否推出x>1或y>2，
由于命題：x≤1且y≤2?x＋y≤3為真，其逆否命題即為x＋y>3?x>1或y>2，由命
題的等價性可知命題為真，因此x>1或y>2是x＋y>3成立的一個必要但不充分條件．
答案：B
3．(2010·濟南模擬)為了得到函數y＝sin2x－π6的圖象，可以將函數y＝cos 2x的圖象
( )
A．向右平移π6個單位長度
B．向右平移π3個單位長度
C． 向左平移π6個單位長度
D．向左平移π3個單位長度
解析：本題考查函數圖象的平移變換．
由y＝cos 2x?y＝sinπ2－2x?y＝sinπ－π2－2x?y＝sin2x＋π2?y＝sin2x＋π4，
又y＝sin2x－π6?y＝sin2x－π12，
可見由y＝sin2x＋π4的圖象向右移動π4＋π12＝3π＋π12＝π3個單位，得到y＝sin2x－π12[來源:學科網]
的圖象．
答案：B
4．已知拋物線x2＝－2py(p>0)的焦點F的任一直線與拋物線交于M、N兩點，則1|FM|＋
1|FN|為定值 ( )
A.1p B.2p C.3p D.4p
解析：取通徑MN，則|FN|＝|FM|＝p，
1|FM|＋1|FN|＝2p.
答案：B
5．(2009·江西)甲、乙、丙、丁4個足球隊參加比賽，假設每場比賽各隊取勝的概率相
等，現任意將這4個隊分成兩個組(每組兩個隊)進行比賽，勝者再賽，則甲、乙相遇
的概率為 ( )
A.16 B.14 C.13 D.12
解析：甲、乙兩隊分到同組概率為P1＝13，不同組概率為P2＝23，又∵各隊取勝概率
均為12，
∴甲、乙兩隊相遇概率為P＝13＋23×12×12＝12.
答案：D
6．(2009·陜西)定義在R上的偶函數f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2 －f x1 x2－x1
<0，則 ( )
A．f(3)
B．f(1)
C．f(－2)
D．f(3)
解析：對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x2 －f x1 x2－x1<0，則x2－x1與f(x2)－f(x1)異
號，因此函數f(x)在[0，＋∞)上是減函數．又f (x)在R上是偶函數，故f(－2)＝f(2)，
由于3>2>1，故有f(3)
答案：A
二、填空題
7．(2009·廣東理)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a
＝________.
解析：∵|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，故a＋b＝(1,0)或(－1，0)，∴a＝(1,0)－(2，
－1)＝(－1,1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．已知f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)單調
遞增，又f12＝0, 設A是三角形的一內角，滿足f(cos A)<0，則A的取值范圍是
________．
解析：
作出滿足題意的特殊函數圖象，如圖所示，由圖知，0
∴π3
答案：π3，π2∪2π3，π
9．若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，則實數x的取值范圍是
________．
解析：考慮命題："存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立"的否定為
"任取a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立".變換主元得到f(a)＝a(x2
＋x)－2x－2≤0，對任意的a∈[1,3]恒成立，則只要滿足f(1)≤0且f(3)≤0即可，所
以－1≤x≤23，故x的取值范圍是x<－1或x>23.
答案：x<－1或x>23
10．若二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區間[－1，1]內至少有一個值c，使
f(c)>0，則實數p的取值范圍為________．
解析：此題從反面分析，采取補集法則比較簡單．如果在[－1，1]內沒有點滿足
f(c)>0，
則則f －1 ≤0，f 1 ≤0.?p≤12或p≥1，p≤－3或p≥32
?p≤－3或p≥32.
取補集為p|－3
答案：－3
三、解答題
11．設函數f(x)＝cos2x＋π3＋si n2x.
(1)求函數f(x)的最大值和最小正周期；
(2)設A，B，C為△ABC的三個內角，若cos B＝13，
fC2＝－14，且C為銳角，求sin A.
解：(1)f(x)＝cos 2xcosπ3－sin 2xsinπ3＋1－cos 2x2＝
12cos 2x－32sin 2x＋12－12cos 2x
＝12－32sin 2x.
所以當2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，[f(x)]最大值＝1＋32，
f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，
故函數f(x)的最大值為1＋32，最小正周期為π.
(2)由fC2＝－14，即12－32sin C＝－14，
解得sin C＝32.
又C為銳角，所以C＝π3.由 cos B＝13求得sin B＝223.
因此sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝222×12＋13×32＝22＋36.
12．(2009·全國Ⅰ理)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋1nan＋n＋12n.
(1)設bn＝ann，求數列{bn}的通項公式；
(2)求數列{an}的前n項和Sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且an＋1n＋1＝ann＋12n，
即bn＋1＝bn＋12n，從而b2＝b1＋12，
b3＝b2＋122，
…
bn＝bn－1＋12n－1(n≥2)．
于是bn＝b1＋12＋122＋…＋12n－1＝2－12n－1(n≥2)．
又b1＝1，
故所求的通項公式bn＝2－12n－1.
(2)由(1)知an＝2n－n2n－1，故
Sn＝(2＋4＋…＋2n)－1＋22＋322＋423＋…＋n2n－1，
設Tn＝1＋221＋322＋423＋…＋ n2n－1，①
12Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，②
①－②得，
12Tn＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n2n
＝1－12n1－12－n2n＝2－22n－n2n，[來源:Zxxk.Com]
∴Tn＝4－n＋22n－1.
∴Sn＝n(n＋1)＋n＋22n－1－4.
13．如圖所示，橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一個焦點為F(1,0)，且過點(2,0)．
(1)求橢圓C的方程：
(2)若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x＝4與x軸交于點N，直線AF與BN交于
點M，
(ⅰ)求證：點M恒在橢圓C上；
(ⅱ)求△AMN面積的最大值．
方法一：(1)解：由題設a＝2，c＝1，從而b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓C的方程為x24＋y23＝1.
(2)(i)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)．
設A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，m24＋n23＝1.①
AF與B N的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y＝0，
n(x－4)＋(m－4)y＝0.
設M(x0，y0)，則有n x0－1 － m－1 y0＝0， ②n x0－4 ＋ m－4 y0＝0， ③
由②③得x0＝5m－82m－5，y0＝3n2m－5.
由于x204＋y203＝ 5m－8 24 2m－5 2＋3n2 2m－5 2＝ 5m－8 2＋12n24 2m－5 2
＝ 5m－8 2＋36－9m24 2m－5 2＝1.
所以點M恒在橢圓C上．
(ⅱ)解：設AM的方程為x＝ty＋1，代入x24＋y23＝1，
得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0.
設A(x1，y1)、M(x2，y2)，則有y1＋y2＝－6t3t2＋4，[來源:Zxxk.Com]
y1y2＝－93t2＋4，
|y1－y2|＝ y1＋y2 2－4y1y2＝43·3t2＋33t2＋4.
令3t2＋4＝λ(λ≥4)，則
|y1－y2|＝43·λ－1λ
＝43 －1λ2＋1λ
＝43 －1λ－122＋14，
因為λ≥4 ,0<1λ≤14，所以當1λ＝14，
即λ＝4，t＝0時，|y1－y2|有最大值3，此時AM過點F.△AMN的面積S△AMN＝12|NF|·|y1－y2|有最大值92.
方法二：(1)同方法一．
(2)(ⅰ)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)，
設A(m，n)，則B(m，－n)(n≠0)，m24＋n23＝1.①
AF與BN的方程分別為n(x－1)－(m－1)y＝0，②
n(x－4)＋(m－4)y＝0.③
由②③得：當x≠52 時，m＝5x－82x－5，n＝3y2x－5.④
把④代入①，得x24＋y23＝1(y≠0)．
當x＝52時，由②③得32n－ m－1 y＝0，－32n＋ m＋4 y＝0，
解得n＝0，y＝0，與n≠0矛盾．
所以點M的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)，
即點M恒在橢圓C上．
(ⅱ)同方法一．
(責任編輯：韓志霞)
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