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昨天愛老師在 高考數(shù)學(xué)文章中,承諾過大家今天要具體講解一下不等式證明技巧——放縮法。我來履行諾言啦!
那為什么要單獨挑出“放縮法”來講呢?那是因為壓軸題只要考到不等式證明,一般會用到這個方法,它屬于壓軸必備技巧喲!快點碼起來~
放縮法其實是在證明不等式成立時,通過放大或縮小,尋找一個中間量而已。但是說起來簡單,真正求解的話還是比較難的,因為中間變量不是直接可以找到的,有時候甚至給了答案我們都看不明白。所以放縮的一些常見技巧大家還是要熟悉。
一. 分子分母的形式
一般是裂項放縮,這個方法在數(shù)列的裂項相消里是經(jīng)常用到的。
例如:求下圖的值
一看就是有分子分母的形式還要累加,對于這種形式我們最熟悉的莫過于數(shù)列中的裂項相消的方法。但是對于這個題目并不是可以直接裂開的,所以我們要先去通過放縮法對其化簡成可裂項相消的形式,再去累加求解。
二. 分式放縮
對于姐妹不等式我們并不陌生,相反初中我們就已經(jīng)熟悉這個形式了,只是當(dāng)時我們是以假分數(shù)真分數(shù)的形式去記憶去理解,那到了高中我們還是用這個性質(zhì)
記憶口訣”小者小,大者大”。
例如:證明
對于這個形式看上去沒有好的方法去證明,所以想到放縮法去求解,實質(zhì)就是根據(jù)咱們上邊的不等式的基本性質(zhì)。
三. 分類放縮
一個不等式證明我們求解可能將其分為幾部分,分別放縮求解,但是要注意我們放縮的方向是一致的,也就是要不都是放大,要不都是放小,切忌符號混亂。
例如:
對于這個不等式,我們有很多項,所以放縮的話可以分別放縮
四. 迭代放縮
這個方法更適合數(shù)列或者函數(shù)的形式去放縮,有迭代關(guān)系。
例如:
對于這個題目,是數(shù)列的前n項和的形式,雖然不能轉(zhuǎn)化為等差或者等比數(shù)列,但是我們要往這個形式去轉(zhuǎn)化,去求解,去化簡,然后又想到三角函數(shù)的值他是有范圍的,肯定在[-1,1],所以從這可以開始放縮。
五. 遞推放縮
這個方法也是更適合數(shù)列或函數(shù)的形式去放縮。
例如:
雖然僅僅只是總結(jié)了幾個放縮的形式,但其實每個例題都是干貨滿滿,并且需要大家消化和練習(xí)。
高考數(shù)學(xué)壓軸題所需要的不等式技巧蠻多的,所以放縮法分為兩篇給大家說明,敬請期待。
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