一次數學競賽，準備了35支鉛筆作為獎品發給獲得一、二、三等獎的同學。

    原打算發給每個獲一等獎的人6 支鉛筆，發給每個獲二等獎的人3 支鉛筆，
發給每個獲三等獎的人2 支鉛筆。后來改為發給每個獲一等獎的人13支鉛筆，發
給每個獲二等獎的人4 支鉛筆，發給每個獲三等獎的人1 支鉛筆。那么，在這次
數學競賽中獲得一、二、三等獎的各有多少人？

    分析與解由題意可以知道，這次數學競賽獲得一、二、三等獎的人數總和前
后是不變的。盡管改變了發獎辦法，但是獎品總數還是35支鉛筆。

    根據“后來發給每個獲一等獎的人13支鉛筆”可以得出，獲一等獎的只能是
2 人或者是1 人，要是3 人，那么35支鉛筆只發給獲一等獎的都不夠。

    假設獲一等獎的是2 人，按改變后的發獎方案，這2 人共得到26支鉛筆，還
剩下35-26=9 支鉛筆，發給獲二、三等獎的同學。假設獲二等獎的也是2 人，每
人發4 支鉛筆后還剩9-4 ×2=1 支鉛筆，那么這1 支鉛筆只能發給獲三等獎的1
人。

    用原來的發獎方案驗算一下，獲一等獎的有2 人，要發給12支鉛筆，獲二等
獎的有2 人，要發給6 支鉛筆，這時還剩下35—12—6=17支鉛筆。獲三等獎的有
1 人，每人要發2 支鉛筆，這樣就會剩下15支鉛筆。顯然，獲一等獎的不是2 人，
獲二等獎的也不是2 人，獲三等獎的更不是1 人了。

    假設獲二等獎的是1 人，這樣還剩下9 —4=5 支鉛筆發給獲三等獎的同學，
那么獲三等獎的就是5 人。這樣按原方案發獎后還要剩下35—6 ×2 —3 —2 ×
5=10支鉛筆。由此可見，獲一等獎的不可能是2 人。

    既然獲一等獎的不是2 人，那么獲一等獎的肯定是1 人了。按照后來的發獎
方案發給獲一等獎的1 人13支鉛筆后，還剩下35-13=22支鉛筆，要發給獲得二、
三等獎的同學，這樣可以算出獲二、三等獎的人數如下表。

    再用原定的發獎方案驗證一下，獲一等獎的有1 人，這樣還剩下35—6=29支
鉛筆，要發給獲得二、三等獎的同學。按照上表獲得二等獎的人數，看看獲得三
等獎的有幾人。結果如下表。

    比較上面兩表就可得出，獲得二等獎的有3 人，獲得三等獎的有10人。

    答：在這次數學競賽中，獲一等獎的有1 人，獲二等獎的有3 人，獲三等獎
的有10人。