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一、特值法 顧名思義，特值法就是找一些符合題目要求的特殊條件解題。 例：f(n)=(n+1)^n-1（n為自然數且n＞1），則f(n) （A）只能被n整除 （B）能被n^2整除 （C）能被n^3整除 （D）能被(n+1)整除 （E）A、B、C、D均不正確 解答：令n=2和3，即可立即發現f(2)=8，f(3)=63，于是知A、C、D均錯誤，而對于目前五選一的題型，E大多情況下都是為了湊五個選項而來的，所以，一般可以不考慮E，所以，馬上就可以得出答案為B。 例：在等差數列{an}中，公差d≠0，且a1、a3、a9成等比數列，則(a1+a3+a9)/(a2+a4+a10)等于 （A）13/16 （B）7/8 （C）11/16 （D）-13/16 （E）A、B、C、D均不正確 解答：取自然數列，則所求為(1+3+9)/(2+4+10)，選A。 例：C(1,n)+3C(2,n)+3^2C(3,n)+……+3^(n-1)C(n,n)等于 （A）4^n （B）3*4^n （C）1/3*(4^n-1) （D）(4^n-1)/3 （E）A、B、C、D均不正確 解答：令n=1，則原式=1，對應下面答案為D。 例：已知abc=1，則a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)等于 （A）1 （B）2 （C）3/2 （D）2/3 （E）A、B、C、D均不正確 解答：令a=b=c=1，得結果為1，故選A。 例：已知A為n階方陣，A^5=0，E為同階單位陣，則 （A）IAI＞0 （B）IAI＜0 （C）IE-AI=0 （D）IE-AI≠0 （E）A、B、C、D均不正確 解答：令A=0（即零矩陣），馬上可知A、B、C皆錯，故選D。 二、代入法 代入法，即從選項入手，代入已知的條件中解題。 例：線性方程組 x1+x2+λx3=4 -x1+λx2+x3=λ^2 x1-x2+2x3=-4 有唯一解 （1）λ≠-1 （2）λ≠4 解答：對含參數的矩陣進行初等行變換難免有些復雜，而且容易出錯，如果直接把下面的值代入方程，判斷是否滿足有唯一解，就要方便得多。答案是選C。 例：不等式5≤Ix^2-4I≤x+2成立 （1）IxI＞2 （2）x＜3 解答：不需要解不等式，而是將條件（1）、（2）中找一個值x=2.5，會馬上發現不等式是不成立的，所以選E。 例：行列式 1 0 x 1 0 1 1 x =0 1 x 0 1 x 1 1 0 （1）x=±2 （2）x=0 解答：直接把條件（1）、（2）代入題目，可發現結論均成立，所以選D。 三、反例法 找一個反例在推倒題目的結論，這也是經常用到的方法。通常，反例選擇一些很常見的數值。 例：A、B為n階可逆矩陣，它們的逆矩陣分別是A^T、B^T，則有IA+BI=0 （1）IAI=-IBI （2）IAI=IBI 解答：對于條件（2），如果A=B=E的話，顯然題目的結論是不成立的，這就是一個反例，所以最后的答案，就只需考慮A或E了。 例：等式x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1成立 （1）a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2 （2）x/a+y/b+z/c=1，且a/x+b/y+c/z=0 解答：對于條件（1），若a=b=c=x=y=z=1，顯然題目的結論是不成立的。所以，最后的答案，就只需要考慮B、C或E了。 |
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