函數的值域與最值

　知識要點

　　1.函數的值域

　　求函數的值域是一個較復雜的問題，不管用什么方法，都要考慮其定義域。

　　(1)當函數用表格給出時，函數的值域是指表格中函數值的集合。

　　(2)當函數用圖像給出時函數的值域是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實數y的集合。

　　(3)當函數用解析式給出時，函數的值域由函數的定義域及其對應法則唯一確定。

　　(4)當函數由實際問題給出時，函數的值域由問題的實際意義決定。

　　2.函數的最值：

　　求函數的值域與最值是緊密相連的，方法類似。事實上，如果在函數的值域中存在一個最(小)大數，這個數就是函數的最(小)大值。

　　3.求函數的值域常用方法：

　　直接法；換元法；判別式法；不等式法；函數的單調性法；函數的有界性法；數形結合法；導數法等等。

　　典型例題

　　一、直接法

　　例1.求下列函數的值域

　　(1)y=-

　　解： x∈{x∈R｜x≠--}

　　y=-=--+-

　　∵x≠--

　　∴2x+1≠0 ∴-≠0∴y≠--

　　y∈{y∈R｜y≠--}

　　說明：形如y=-的函數可通過“分離常數”后再逐層分析。

　　(2)y=-

　　解：x∈R,y=-=-1+-

　　∵x∈R∴2x>0∴1+2x>1∴0<-<1

　　∴0<-<2∴-1<-1+-<1

　　∴y∈(-1,1)

　　(3)y=4--

　　解：3+2x-x2 0

　　∴x∈[-1,3] y=4--

　　∵x∈[-1,3]∴-(x-1)2+4∈[0,4]

　　∴--∈[-2,0]

　　說明：一般的，一個函數可以由幾個常見函數經過復合后得到。只要每一層的常見函數都可以求出值域，便可以運用“逐層分析”法求出函數的值域。

　　二、換元法

　　例2.求下列函數的值域

　　(1)y=2x+-

　　解：∵1-2x0 ∴x∈(-∞,-]

　　設t=-(t0) x=-

　　∴y=-t2+t+1=-(t--)2+-(t0)

　　∴y∈(-∞,-]

　　說明：對于形如y=ax+b+-的函數設t=cx+d且t0使之劃歸為二次函數的范圍值域問題。

　　(2)y=x+-

　　解：∵1-x20∴x∈{x｜-1x1}

　　設x=sin,---

　　∴y=x+-=sin+cos=-sin(+-)

　　∵---∴--+--

　　∴--sin(+-)1

　　∴y∈[-1,-]

　　說明：對含有-的函數，可利用三角換元設x=asin，其中的范圍只要能夠使asin滿足x的定義域即可。