09年高考數學復習：函數的值域與最值

作者：　發布時間：2009-02-19 11:17:54　來源：

　例3.求下面函數的值域

　　y=-

　　解：x∈R由y=-得yx2-3x+4y=0

　　當y=0時，x=0；

　　當y≠0時，由0

　　y∈[--,-]

　　說明：將函數轉化為關于x的二次方程f(x，y)=0通過方程有實根，從而求得原函數的值域，這種方法叫判別式法。在利用判別式法時要注意二次項系數是否為0。

　　四、不等式法、函數的單調性法

　　例4.求下列函數的值域

　　(1)y=-

　　解：x∈{x│x≠2}

　　設t=2x-4(t≠0),

　　x=-

　　y=-=-

　　=-t+-

　　利用均值不等式當t>0,y1；當t<0,y-1 ∴y ∈{y│y-1或y1}

　　(2)y=-

　　解：x∈R,y=-+-

　　設t=-(t2)

　　∵y=t+-(t2)為增函數，

　　∴y2+-=- y∈[-,+∞)

　　說明：一般的，形如二次式與一次式的比，一次式與二次式的比，二次式與二次式的比，多可以采用分離常數的方法，轉化為y=t+-+c,a、c為常數，再利用不等式求出函數的值域，要注意驗證等號的成立條件，如等號不能取得，應利用y=t+-的單調性求解。

　　五、數形結合

　　例5.求下列函數的值域

　　(1)y=-

　　解：x∈R，y=-可看作單位圓外一點P(-2,0)與圓x2+y2=1上的點的所連線段的斜率，

　　y∈[--,-]

　　(2)y=-+-

　　解：x∈R

　　y=-+-

　　可看作x軸上一動點P(x,0)與兩個定點(-1,1),(1,1)所連線段的長度之和。

　　y∈{y│y2-}

　　說明：在運用數形結合求函數的值域時，應注意轉化函數的幾何意義。常見的數形結合有：單位圓，斜率，距離等。

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