線代復習重點解析之——向量和線性方程組

 　　線代復習重點解析之——向量和線性方程組

　　一、考情分析篇

　　通過對比較近幾年考研數學真題以及學生考研分數的分析和總結，跨考教育數學教研室李老師發現：首先，線性代數的得分率總體要比高等數學和概率論高5%左右;其次，在對考研學生的調查中，70%以上的學生認為線性代數試題難度低，容易取得高分;再次，線性代數側重的是方法的考查，考點比較明確，系統性更強。

　　考研數學線性代數相比較高等數學和概率論而言，呈現明顯不同的學科特點——概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容縱橫交錯以及知識點前后緊密聯系。如果說高等數學的知識點算“條”的話，那么概率論就應該算“塊”，而線性代數就是“網”!具體來看，線性代數這整張網，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網相互交叉聯結而成。而其中向量和線性方程組這兩張網又在其中起著承前啟后、上下銜接的關鍵作用。

　　由以上的分析，大家不難發現——向量和線性方程組是線性代數的重難點內容，也是考研的重點和難點之一。而這點也可以從歷年真題的出題規律上得到驗證。

　　關于第三章向量，無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是考察向量組的線性表示就是向量組的線性相關性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

　　關于第四章線性方程組，06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

　　二、重點分析篇

　　考研數學線性代數暑期強化復習階段重點應放在充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法上，并及時進行總結，抓聯系，使所學知識能融會貫通，舉一反三。為了讓大家在暑期復習中能將線性代數提高到“心中有劍，手中亦有劍”的層次，跨考數學教研室名師在這里總結了向量和線性方程組的幾種核心題型與解決方法，供同學們參照復習。

　　1、向量——理解相關無關概念，靈活進行判定。

　　向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。如何掌握這部分內容呢?首先在于對定義、性質和定理的理解，然后就是分析判定的關鍵在于：看是否存在一組不全為零的實數。

　　這部分題型有如下幾種：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題(數一)。

　　要判斷(證明)向量組的線性相關性(無關性)，首先會考慮用定義法來做，其次會用向量組的線性相關性(無關性)的一些重要性質和定理結合反證法來做。同時會考慮用向量組的線性相關性(無關性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯系來做。

　　2、線性方程組——解的結構和(不)含參量線性方程組的求解。

　　要解決線性方程組解的結構和求法的問題，首先應考慮線性方程組的基礎解系，然后再利用基礎解系的線性無關性、與矩陣的秩之間的聯系等一些重要性質來解決線性方程組解的結構和含參量的線性方程組解的討論問題，同時用線性方程組解結構的幾個重要性質求解(不)含參量線性方程組的解。

　　具體來看，線性方程組的題型主要有如下幾種：齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明以及帶參數的線性方程組的解的情況。相應題型的處理方法可參照下圖。

　　3、向量和線性方程組的聯系