中科院研究生院2012年數學分析考研大綱

　　中科院研究生院碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

　　本《數學分析》考試大綱適用于中國科學院研究生院數學和系統科學等學科各專業碩士研究生入學考試。數學分析是一門具有公共性質的重要的數學基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學、級數、多元微分學和積分學等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，熟練掌握各種運算和基本的計算、論證技巧，具有綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。

　　一、考試基本要求

　　要求考生比較系統地理解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、考試方法和考試時間

　　數學分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

　　三、考試內容和考試要求

　　(一)考試內容

　　1. 分析基礎

　　(1) 實數概念、確界

　　(2) 函數概念

　　(3) 序列極限與函數極限

　　(4) 無窮大與無窮小

　　(5) 上極限與下極限

　　(6) 連續概念及基本性質，一致連續性

　　(7)收斂原理

　　2. 一元微分學

　　(1) 導數概念及幾何意義

　　(2) 求導公式求導法則

　　(3) 高階導數

　　(4) 微分

　　(5) 微分中值定理

　　(6) L'Hospital法則

　　(7) Taylor公式

　　(8) 應用導數研究函數

　　3. 一元積分學

　　(1) 不定積分法與可積函數類

　　(2) 定積分的概念、性質與計算

　　(3) 定積分的應用

　　(4) 廣義積分

　　4. 級數

　　(1) 數項級數的斂散判別與性質

　　(2) 函數項級數與一致收斂性

　　(3) 冪級數

　　(4) Fourier級數

　　5. 多元微分學

　　(1) 歐氏空間

　　(2) 多元函數的極限

　　(3) 多元連續函數

　　(4) 偏導數與微分

　　(5) 隱函數定理

　　(6) Taylor公式

　　(7) 多元微分學的幾何應用

　　(8) 多元函數的極值

　　6. 多元積分學

　　(1) 重積分的概念與性質

　　(2)重積分的計算

　　(3)二重、三重廣義積分

　　(4)含參變量的正常積分和廣義積分

　　(5)曲線積分與Green公式

　　(6)曲面積分

　　(7)Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無關

　　(8)場論初步