高考數學公式：積化和差
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積化和差,課前預習，指初等數學三角函數部分的一組恒等式。
公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的負號】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
證明
法1
積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。
即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3個式子也是相同的證明方法。
(該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見和差化積)
法2
根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
記憶方法
積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。
【1】這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是
[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
(責任編輯：郭峰)
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