2017年高考數學函數的極值與導數的關系
為了幫助大家能夠對自己多學的知識點有所鞏固，下文整理了這篇高考數學復習資料，希望可以幫助到大家!
高考數學知識點：函數的極值與導數的關系
極值的定義：
(1)極大值： 一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)
(2)極小值：一般地，設函數f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)>f(x0)，就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點。
極值的性質：
(1)極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小，并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小;
(2)函數的極值不是唯一的，即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個;
(3)極大值與極小值之間無確定的大小關系，即一個函數的極大值未必大于極小值;
(4)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點，而使函數取得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。
判別f(x0)是極大、極小值的方法：
若x0滿足，且在x0的兩側f(x)的導數異號，則x0是f(x)的極值點， 是極值，并且如果在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值;如果在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值。
求函數f(x)的極值的步驟：
(1)確定函數的定義區間，求導數f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值;如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f(x)在這個根處無極值。
對函數極值概念的理解：
極值是一個新的概念，它是研究函數在某一很小區域時給出的一個概念，在理解極值概念時要注意以下幾點：
①按定義，極值點x0是區間[a，b]內部的點，不會是端點a，b(因為在端點不可導).如圖
②極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可.要注意極值必須在區間內的連續點取得.一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小，如圖.
③若fx)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在區間上單調的函數沒有極值.
④若函數f(x)在[a，b]上有極值且連續，則它的極值點的分布是有規律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f(x)在[a，b]上連續且有有
限個極值點時，函數f(x)在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現的，
⑤可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點，
函數的最大值和最小值：
在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值，分別對應該區間上的函數值的最大值和最小值。
利用導數求函數的最值步驟：
(1)求f(x)在(a，b)內的極值;
(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較得出函數f(x)在[a，b]上的最值。
用導數的方法求最值特別提醒：
①求函數的最大值和最小值需先確定函數的極大值和極小值，因此，函數極大值和極小值的判別是關鍵，極值與最值的關系：極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值;
②如果僅僅是求最值，還可將上面的辦法化簡，因為函數fx在[a，b]內的全部極值，只能在f(x)的導數為零的點或導數不存在的點取得(下稱這兩種點為可疑點)，所以只需要將這些可疑點求出來，然后算出f(x)在可疑點處的函數值，與區間端點處的函數值進行比較，就能求得最大值和最小值;
③當f(x)為連續函數且在[a，b]上單調時，其最大值、最小值在端點處取得。
生活中的優化問題：
生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題，解決優化問題的方法很多，如：判別式法，均值不等式法，線性規劃及利用二次函數的性質等，
不少優化問題可以化為求函數最值問題.導數方法是解這類問題的有效工具.
用導數解決生活中的優化問題應當注意的問題：
(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去;
(2)在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使f'(x)=0的情形.如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大(小)值;
(3)在解決實際優化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系表示，還應確定出函數關系式中自變量的定義區間.
利用導數解決生活中的優化問題：
(1)運用導數解決實際問題，關鍵是要建立恰當的數學模型(函數關系、方程或不等式)，運用導數的知識與方法去解決，主要是轉化為求最值問題，最后反饋到實際問題之中.
(2)利用導數求f(x)在閉區間[a,時間管理，b]上的最大值和最小值的步驟，
①求函數y =f(x)在(a，b)上的極值;
②將函數y=f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.
(3)定義在開區間(a，b)上的可導函數，如果只有一個極值點，該極值點必為最值點.
以上就是育路網的編輯為各位考生帶來的高考數學復習資料，希望給各位考生帶來幫助。
(責任編輯：盧雁明)
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