2017高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)攻略之不等式
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一、 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題
簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)之一，是歷年高考的必考內(nèi)容，主要以填空題的形式考查最優(yōu)解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞以下幾個(gè)方面：
(1) 常規(guī)的線性規(guī)劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;
(2) 與函數(shù)、平面向量等知識(shí)結(jié)合的最值類問題;
(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;
(4) 考查線性規(guī)劃問題在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用。而其中的第(2)(3)(4)點(diǎn)往往是命題的創(chuàng)新點(diǎn)。
【例1】 設(shè)函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)?P(x，y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為12，32，求f(θ)的值;
(2) 若點(diǎn)P(x，y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1，x≤1，y≤1。 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。
解 (1) 由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1，0)，B(1，1)，?C(0，1)?。于是0≤θ≤?π?2，
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當(dāng)θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時(shí)，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;
當(dāng)θ+?π?6=?π?6，即θ=0時(shí)，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點(diǎn)評(píng) 本題中的最大的亮點(diǎn)在于以解答題的形式將線性規(guī)劃中的基礎(chǔ)內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進(jìn)行了的有機(jī)綜合，過去歷年高考對(duì)線性規(guī)劃考查中并不多見。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要內(nèi)容，也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)之一。它的應(yīng)用幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有的章節(jié)，高考命題的重點(diǎn)是大小判斷、求最值、求范圍等。大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了不少考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用問題。
【例2】 心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識(shí)存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，則此時(shí)這似乎存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍(復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì))，其后存留量y?2隨時(shí)間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a
(責(zé)任編輯：郭峰)
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