解密高考數學尖子生解題思維
最近一位貴州的同學給我打來電話，說，她的同桌是班級上排名第7、8的同學，原因是英語一直都是90分左右，很拉他的分數。但是看了玖久的《專項突破英語》之后，這個學生在月考中英語成績快速的提升到115分。排在全班第2名。這個現象說明什么呢？尖子生得分的關鍵因素是他們的思維效率非常高。而中等生在向尖子生轉變的過程中，對他們的思維進行適當訓練，就可以讓他們化腐朽為神奇。玖久教育將尖子生的解題思維解構成四個部分，中等生只要按照這四個部分去認真執行，數學成績將快速提升。關于這個思維的教學在，在《專項突破數學》課程中，更有詳細講解。大家可以從視頻中找到靈感。
數學家G . 波利亞在《怎樣解題》中說過：數學教學的目的在于培養學生的思維能力，培養良好思維品質的途徑，是進行有效的訓練，本策略結合數學教學的實際情況，從以下四個方面進行講解：
一、數學思維的變通性 :根據題設的相關知識，提出靈活設想和解題方案
二、數學思維的反思性 :提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。
三、數學思維的嚴密性 :考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。
四、數學思維的開拓性 :對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題目運用多種不同的解法。
《思維與思想》的即時性、針對性、實用性，已在教學實踐中得到了全面驗證。
第一章 數學思維的變通性
一、變通性的概念
數學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性——善于根據題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。根據數學思維變通性的主要體現，本講將著重進行以下幾個方面的訓練：
（1）從題目角度出發，善于觀察
心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提。
任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系。要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。
從做題角度上看，就是一切從題目角度出發，題目讓干什么，我們做什么。題目沒有提到的，一概先不思考。只有從解題角度上，需要的知識點，題目沒有提到的，我們才思考。
由此，我們可以看出，并不是題目難解，而是我們沒有觀察出題目的關聯性。
（2）從條件入手，善于聯想
聯想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入。
（3）善于將問題進行轉化
數學家G . 波利亞在《怎樣解題》中說過：數學解題是命題的連續變換。可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題之后，就要尋求轉化關系。
思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。
綜上所述，善于觀察、善于聯想、善于進行問題轉化，是數學思維變通性的具體體現。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。
看到這里，我想，你就會有一個概念，數學是相通的，是可以將一個條件或結論轉化為多種形式出現的，一旦你抓住了根本，就能馬上做題。一旦沒有抓住，而苦苦思索是必然的。
二、思維訓練實例
（1） 觀察能力的訓練
雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規方法解題，而且能根據題目的具體特征，采用特殊方法來解題。
思維障礙 很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數學公式、定理的運用練習。做題時不要盲目解題，以題目為主，不要看到題，就聯想知識點，這種做題方式只適合簡單題，而不適合大題。
（2） 聯想能力的訓練
思維障礙有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯想到運用基本公式。
思路2：由于是選擇題，題目只給了一個條件，并且顯然必有一個結論是正確的，∠C是鈍角，求的是tgA×tgB的值，不妨構造∠A=∠B=30°，∠C=120°，那么問題迎刃而解。這就是根據題目限定的范圍，進行的聯想。很多選擇題，填空題，都可以這么聯想。
（3） 問題轉化的訓練
我們所遇見的數學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉化的訓練是很必要的。
1 轉化成容易解決的明顯題目
思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段。
2 逆向思維的訓練
逆向思維也稱為必要性思維。不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。
問題的思考角度為：要想得到這個結論，所需要的前提條件是？不斷逆推，直到條件可以利用。
思路分析 反證法被譽為“數學家最精良的武器之一”，它也是中學數學常用的解題方法。當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。
解析：題目要證明至少有一個不小于1，那么我們不妨假定三者全部小于1，帶入驗證，發現結果不成立，從而肯定了“至少一個小于1”的結論。用必要性思維進行表達：至少有一個不小于1=如果全部小于1，則不成立。前面的全部例子都可以用必要性思維進行驗證。
3 一題多解訓練與一解多題訓練
由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯想、恰當轉化，提高數學思維的變通性。這類題型太多，我就不舉例子。
在整理大量題的過程中，我們會發現，很多題型雖然考法不同，應用知識點不同，考察形式風馬牛不相及，但是整體的思路非常趨于一致！那么這種思路就是“一解多題”的思路。其實一解多題并不神秘，相反非常簡單。我們看前面的例題，第一道題求和的思路是，把結論換成熟悉的公式，即簡化思想。或者用逆向思維，要想求得這個結論，必須得出什么條件……第二個例題求方程組的思路是，把方程組轉化為我們所熟悉的一元二次方程，也是簡化思想……再看后面的題，解題過程如果從正向角度而言，不外乎是簡化，推導、應用知識點。如果從逆向思維來考慮，也是找到入手點，尋找問題成立或不成立的前提，然后轉化條件……這就是一解多題的思想。當然，這里的“解”指的是思路，而不是固定的方法。如果拋卻題目難度和知識點的差異，甚至解題的步驟都趨于一致。
(責任編輯：韓志霞)
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