勾股定理證明方法之一的培利加剖分（ Perigal‘s dissection）在《數(shù)學(xué)
樂(lè)園。茅塞頓開(kāi)》中已經(jīng)描述過(guò)，但因?yàn)楣垂啥ɡ硎窍喈?dāng)重要的定理，故在此再
特別舉出一些可行的證明方法，供讀者做比較。

    下面列舉的前3 個(gè)方法非常類似，而且都需要利用到4 個(gè)全等的直角三角形。

    請(qǐng)將它們從卡片中剪下，并且實(shí)際練習(xí)看看。

    （1 ）如圖1 所示，將4 個(gè)三角形排成邊長(zhǎng)為a ＋b 的正方形4BCD，使中間
留下邊長(zhǎng)c 的一個(gè)正方形洞（陰影部分）。

    畫(huà)出正方形ABCD. 現(xiàn)在移動(dòng)三角形至圖2 所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分
別為a 與b 的兩個(gè)正方形洞。這么一來(lái)，圖1 和圖2 中的陰影部分面積必定相等，
所以

    c2=a2+b2

    （2 ）此證明以圖1 為基礎(chǔ)：

    正方形ABCD的面積= 陰影部分正方形的面積+4個(gè)三角形的面積

    得出 a2+b2=c2

    （3 ）這次將4 個(gè)直角三角形的直角部分朝內(nèi)放，排成一個(gè)邊長(zhǎng)為c 的正方
形PQRS（見(jiàn)圖3 ），中間的洞（陰影部分）則是邊長(zhǎng)為b －a 的正方形。

    正方形PQRS的面積= 陰影部分正方形的面積+4個(gè)三角形的面積

    得出 c2=a2+b2

    （4 ）此證明于1860年首次發(fā)表，同樣也是著眼于使面積相等的概念。這題
與上述的第一、第二個(gè)方法有頗多類似之處。

    正方形ABNL的面積

    = 正方形KCOM的面積－4 個(gè)三角形的面積

    = 正方形DFHI的面積－4 個(gè)三角形的面積

    = 正方形DFHI的面積－長(zhǎng)方形ACBI的面積－長(zhǎng)方形CEFC的面積

    = 正方形ADEC的面積+ 正方形BCGH的面積故可得

    c2=b2+a2

    （5 ）介紹了許多幾何變換的方法后，這里要以有趣的切變換（shearing transformation）

    為基礎(chǔ)來(lái)證明勾股定理。參見(jiàn)圖 5.

    將以BC為邊的正方形斜切至右方，并將以AC為邊的正方形向上切至與直線CD
相連。（要記住，切變換使面積保持不變。）然后再將圖形沿直線DC切換，直到
圖形抵達(dá)直線AB為止，這時(shí)圖形變成正方形ABEF.

    以AB為邊的正方形面積= 以BC為邊的正方形面積+ 以AC為邊的正方形面積

    所以 c2=a2+b2

    （6 ）此證明有時(shí)會(huì)利用相似三角形來(lái)解釋，但參考圖6 用三角函數(shù)來(lái)證明
會(huì)更容易些。

    AB=AN+NB

    c=b cos θ+a cosφ

    將上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以c ，則得

    c2=b2+a2

    （7 ）勾股定理最令人滿意的證明之一就是用向量來(lái)證明，參見(jiàn)圖7 所示。

    c2=c.c= （a+b ）。（a+b ）=a.a+2a.b+b.b=a2+b2

    因?yàn)?a⊥b

    所以a.b=0