1.三邊均為整數，且最長邊為11的三角形有多少個？

    參考答案：

    11，11，11；11，11，10；11，11，9 ；……11，11，1 ；

    11，10，10；11，10，9 ；……11，10，2 ；

    11，9 ，9 ；……11，9 ，3 ；

    11，8 ，8 ；……11，8 ，4 ；

    11，7 ，7 ，……11，7 ，5 ；

    11，6 ，6 ；

    1+3+5+7+9+11=6^2=36

    如果將11改為n 的話，

    n=2k-1時，為k^2 個三角形；

    n=2k時，為（k+1 ）k 個三角形。

    2.已知各項均為正整數的算術級數，其中一項是完全平方數，證明：此級數
一定含有無窮多個完全平方數。

    參考答案

    證明：首先由級數各項為正可知公差d>=0，d=0 ，則a1=a2=a3= ……=an=…

    …所以只要有一項為完全平方數，所有項均為完全平方數，由于級數的項數
為無限，所以命題得證。

    d>0 ，時d 一定為正整數。不妨設第i 項為完全平方數ai=k^2（i=1 ，2 ，
3 ，……），則ai+ （2k+d）d=k^2+2kd+d^2=（k+d ）^2，也為完全平方數，所
以第i+（2k+d）d 項為完全平方數，一般的有i+（2nk+n^2d）（n=1 ，2 ，3 ，
……）項均為完全平方數（數學歸納法的證明略），由于n 可取無窮項，所以命
題得證。

    綜上命題成立。

    3.求所有的素數p ，使4p^2＋1 和6p^2＋1 也是素數。

    參考答案

    考慮p 對5 的余數，余數為1 時

    余數為1 時：4p^2+1≡4*1+1 ≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素數；

    余數為2 時：6p^2+1≡6*4+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素數；

    余數為3 時：6p^2+1≡6*9+1 ≡0 （mod5），由于6p^2+1>=6*2^2+1=25，而
又可以被5 整除，所以一定不是素數；

    余數為4 時：4p^2+1≡4*16+1≡0 （mod5），由于4p^2+1>=4*2^2+1=17，而
又可以被5 整除，所以一定不是素數；

    所以由上可知5|p ，然而p 是質數，所以p 只能是5.

    4.證明存在無限多個自然數a 有下列性質：對任何自然數n ，z ＝n^4 ＋a
都不是素數。

    參考答案

    證明：利用費馬小定理的另一種形式p|n^（p-1 ）-1，（p 為質數，n 為任
意自然數），所以p-1=4 ，p=5 ，5|n^4-1 ，所以5|n^4-1+5 ，5|n^4+4 ，5|n^4+9，
5|n^4+14……由于n^4+9>5 ，所以a=9 ，14，19，24，……5k+4（k=1 ，2 ，3 ，
……）均可使z ＝n^4 ＋a 都不是素數，所以命題得證。

    5.證明：如果p 和p ＋2 都是大于3 的素數，那么6 是p ＋1 的因數