09年高考數(shù)學(xué)基本不等式的應(yīng)用與常見錯誤評析

基本不等式及應(yīng)用是高中階段一個重要的知識點；其方法靈活，應(yīng)用廣范。在學(xué)習(xí)過程中要求學(xué)生對公式的條件、形式、結(jié)論等要熟練掌握，才能靈活運用。

一、基本不等式：

1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，

2.a,b∈R+，a+b≥2-，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立。

二、問題1：設(shè)ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )

(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

解題辨析：

常見錯誤解法：因為-與-的積為定值，其和有最小值，

即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯的，是因為-﹤0

-﹤0并不滿足不等式：a+b≥2-中字母的條件；

正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0

(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)

問題2：已知x是正實數(shù)，求函數(shù)y=x2+-的最小值？

解題辨析：

常見錯誤解法：因x是正實數(shù)，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，當(dāng)且僅當(dāng)x2=-，即x=-時，等號成立；此解法錯誤的原因是x2與-的積

2-并不是定值。

正確結(jié)論：對于兩個正數(shù)a與b，

當(dāng)和為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，其積有最大值；

當(dāng)積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，其和有最小值。

正確方法是：因x是正實數(shù)，y=x2+-=x2+-+-

≥3·■=3,

當(dāng)且僅當(dāng)：x2=-等號成立，即x=1時，y=x2+-的最小值是3

問題3：已知x,y都是正實數(shù)，且x+4y=1，求：-+-的最小值？

解題辨析：

常見錯誤解法：因為x,y都是正實數(shù)1=x+4y≥2-

即1≥4-＞0，-+-≥

2-＞0，兩式相乘得-+-≥8

所以-+-的最小值是8，此解法錯誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y，而這兩個條件不可能同時成立，因此-+-≥8中的等號不成立。

正確方法是：x,y都是正實數(shù)，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

2-=9，當(dāng)且僅當(dāng)-=-等號成立，

即當(dāng)且僅當(dāng)x=-，y=-時，-+-取得最小值是9

問題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的最大值？

解題辨析：

常見錯誤解法：

xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

即：xm+yn的最大值為3

此解法錯誤的原因是當(dāng)xm+yn取得最大值3時，x=m，y=n要同時成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。

正確解法：因為x2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘

8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

即當(dāng)且僅當(dāng)xn=ym時，xm+yn取最大值為2-

總之，基本不等式解決問題并不是萬能的。學(xué)習(xí)過程中，要深刻理解基本不等式的內(nèi)在實質(zhì)，搞清其條件、公式、結(jié)論之間的辯證關(guān)系是關(guān)鍵。特別對于第二個基本不等式，我們常說“一正、二定、三等號”，其意義就在于此。

訓(xùn)練題

一、填空題：

1.已知x,y都是正實數(shù)，且-+-=1,則x+y最小值是_______，

當(dāng)且僅當(dāng)x=_______,y=_______,

2.已知：abc均為實數(shù)，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的最大值是________

最小值是_________。

3.已知：a,b都是正實數(shù)，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。

二、選擇題：

1.已知：a,b都是正實數(shù)，且a+b=1，則-+-的最大值是( )

(A)-(B)-(C)2-(D)3

2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實數(shù)c的范圍是( )

(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

三、解答題：

1.已知矩形的面積與其周長相等，求其面積的最小值？

2.⑴比較大小：㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67

⑵根據(jù)上述結(jié)論作出推廣，試寫出一個有關(guān)于自然數(shù)n的不等式，并證明之。

答案：

一、 填空題：

1. x+y最小值是9， 當(dāng)且僅當(dāng) x=6,y=3。

2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。

3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- ,　　二、 選擇題：

1.(C), 2.(D)

三、 解答題：

1.16

2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67

⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

華東模范中學(xué) 馬蘭軍