趣味數(shù)學

 《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分數(shù)法和開平方法，都是了解中國古代籌算的重要資料。下卷收集了一些算術難題，“雞兔同籠”問題是其中之一。原題如下：
　
　　令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雄、兔各幾何？

　　原書的解法是；設頭數(shù)是a，足數(shù)是b。則b/2-a是兔數(shù)，a-（b/2-a）是雉數(shù)。這個解法確實是奇妙的。原書在解這個問題時，很可能是采用了方程的方法。
　
　　設ｘ為雉數(shù)，ｙ為兔數(shù)，則有 ｘ＋ｙ＝b，　2ｘ＋4ｙ＝a 解之得 ｙ＝b/2-a， ｘ＝a-（b/2-a）

　　根據(jù)這組公式很容易得出原題的答案：兔12只，雉22只。

　　雞兔同籠問題是一個有趣的算術題，對初學算術四則應用題的學生的邏輯推理能力和運算技巧很有幫助。因而歷代算書中多有引錄。但在題目及解題方法上卻各有不同。

元代《丁巨算法》中的題目為：

　　今有雞兔一百，共足二百七十二只，只云雞足二，兔足四，問二色各幾何？

　　所附解法與《孫子算經(jīng)》不同。其方法是“置共一百，以四乘之，得四百，與總足相減，余一百二十八，折半得雞數(shù)。反減得兔。倍一百得二百，減總足，余七十二，折半得兔。反減得雞，亦通�！边@是另一典型的算術解法，先設全部都是兔。則總足數(shù)是頭數(shù)的四倍，得四百。與實際總足敷相減，即知把雞誤當為兔時多計算的足數(shù)。每只多算二足，故折半即為雞數(shù)。此題的答案為：雞64只，兔36只。

　　“雞兔同籠”問題在民間也廣為流傳，甚至編入了小說。在我國著名的古典小說《鏡花緣》里就有這樣一段故事：宗伯府的女主人卞寶云邀請女才子們到府中的小鰲山觀燈。當眾才女在一片音樂聲中來到小整山時，只見樓上樓下俱掛燈球，五彩繽紛，宛如列星，高低錯藩，竟難分辨其多少。

　　卞寶云請精通籌算的才女米蘭芬，算一算樓上樓下大小燈球的數(shù)目。她告訴米蘭芬，樓上的燈有兩種：

　　一種上做三個大球，下綴六十小球，計大小球九個為一燈；另一種上做三個大球，下綴十八個小球，計大小球二十一個為一燈。樓下的燈也分兩種，一種一個大球，下綴兩個小球；另一種是一個大球，下綴四個小球。她請米蘭芬算一算樓上樓下四種燈各有多少個。

　　米蘭芬想了一想，請寶云命人查一下樓上樓下大小燈球各多少個。查的結(jié)果是：樓上大燈球共396個，小燈球共1440個，樓下大燈球共360個，小燈球共1200個。米蘭芬按照《孫于算經(jīng)》中“雞兔同籠”問題的解法，先算樓下的，她將小燈球1200折半，得600，再減去大燈球360，得240，這是一大四小燈球的燈的盞數(shù)。然后用360減240，得120，這便是一大二小燈球的燈的盞數(shù)。再算樓上的，她先將1440折半，得720，減大燈球396，余324，再除以6，得54，這是綴十八個小球燈的燈的盞數(shù)，然后用3乘54，得162，用396減162，得234，用234除以3得78，即下綴六個小球燈的燈78盞。卞寶云讓人拿做燈的單子來念，果然絲毫不差。大家莫不稱為神算。這個問題若用方程解之自然更簡單，但用算術方法解之確也別具一格。

　　一個算術題竟能輾轉(zhuǎn)傳抄，世代相授，歷經(jīng)千年而不衰，其內(nèi)容之有趣，解法之奇巧，不能不說是一個很重要的原因。