福州大學 2011年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱
一、考試科目名稱:《數學分析》
二、招生學院和專業：數學與計算機學院
基本內容(可續頁):
1、集合與映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合運算的交換率、結合率、分配率，笛卡兒乘積，映射、滿射、單射、雙射、逆映射，像與逆像，映射的復合，映射的限制與延拓，一元函數，函數的四則運算與復合，函數的圖象，初等函數，函數的單調性、有界性、周期性與凸性。
2、極限與連續：數列極限的ξ-N定義，數列極限的唯一性，收斂數列的有界性，極限與四則運算，極限與不等式，單調有界原理，數e，無窮小量與無窮大量，函數極限的ξ-N定義，與數列極限性質相平行的函數極限的性質，函數極限與數列極限的關系，單側極限與無窮遠處的極限，復合函數的極限，兩個重要的極限，無窮小量與無窮大量的階，函數的連續與間斷，單側連續，函數連續的局部性質，連續函數的四則運算，反函數與復合函數的連續性。間斷點的分類，初等函數的連續性，函數連續的整體性質。
3、導數與微分：導數及其幾何意義，導數的四則運算，反函數與復合函數的求導，參數方程所表示的函數與隱函數的求導，基本初等函數的導數，可導與連續的關系，單側導數，高階導數，Leibniz公式。線性函數與微分，微分與導數的關系，微分的四則運算，反函數與復合函數的微分，一階微分形式的不變性，高階微分。
4.微分學基本定理及其應用：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。Taylor公式，Taylor公式的Peano余項及Lagrange余項。某些初等函數的Taylor展開式。微分學應用：待定型的定值法，函數的升降，極值，最值，凸性，拐點的判定，漸近線，函數的作圖，曲率，曲率半徑，曲率圓。
5.不定積分：原函數與不定積分，基本積分公式，運算法則。不定積分的換元法與分部積分法，有理函數的積分，三角函數有理式的積分，某些可有理化的函數的積分。
6.黎曼積分：R-積分，達布上、下和與上、下積分，R-可積的充要條件，R-可積與函數運算，重要的可積函數類，R-積分的線性性、可加性與正性，第一積分中值定理，變動上限積分所定義的函數的連續性與可微性。黎曼積分的計算：N-L公式，換元法與分步積分法，R-積分的近似計算。定積分的元素法與應用：面積、體積、弧長、旋轉面的面積、重心、壓力、功。
7．實數理論與連續函數的整體性質：上、下確界，確界原理，單調有界原理，閉區間套定理，致密性定理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，實數系的公理體系。有界閉區間上連續函數的性質：有界性定理，最值定理，介值定理。反函數連續性定理，一致連續性定理。
8.數項級數：數列的上、下極限，部分和極限。數項級數收斂與發散，級數收斂的必要條件，收斂級數的線性運算與結合率，柯西收斂原理。單調有界原理，正項級數審斂法：比較判別法，柯西根值法，達郎貝爾比值法，積分判別法，拉伯判別法。任意項級數審斂法：萊布尼茲判別法，阿貝爾變換與阿貝爾判別法，狄里克萊判別法。絕對收斂級數與條件收斂級數.
9.廣義黎曼積分：兩類廣義積分的收斂與發散，廣義積分與級數，積分第二中值定理，比較判別法，柯西判別法，阿貝爾判別法，狄里克萊判別法，積分主值。
10.函數項級數：函數項級數的一致收斂，一致收斂的柯西收斂原理，M-判別法，狄里克萊判別法，狄尼定理，一致收斂級數的和函數的連續性，可微性與可積性，逐項求導與逐項求積。冪級數的收斂半徑，柯西-阿達瑪定理，阿貝爾第一、第二定理，冪級數的和函數的性質，函數的冪級數展開。Weierstrass定理。
11.Fourier級數與Fourier變換：正交函數系，三角函數系的正交性，Fourier系數，Fourier級數。Dirichlet積分，Riemann引理，局部化定理，Dini判別法，Dirichlet--Jordan判別法，函數的Fourier級數展開，Fourier級數的逐項求導與逐項求積，
12.多元函數極限論：歐氏空間中的拓撲性質：范數，鄰域，開集，閉集，開核，閉包，有界集，緊集，連通集，區域，聚點，點列的極限，柯西收斂原理，交集定理，致密性定理，有限覆蓋定理，多元函數的極限與累次極限，函數的連續性，有界閉區域上連續函數的性質。
13.多元微分學：偏導數及其幾何意義，線性函數與全微分，連續可微、可偏導之間的關系，鏈式法則，高階偏導的次序交換定理，隱函數的偏導計算，高階全微分，一階微分形式的不變性。方向導數與梯度的定義與計算，梯度。Taylor公式。
14.向量值函數：向量值函數的極限與連續，向量值函數的偏導數和方向導數，線性映射與全微分，坐標函數，鏈式法則，Jacobi陣。
15.隱函數：隱函數定理，函數行列式的性質，函數相關。
16.多元微分學的應用：曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，極值與條件極值，Lagrange乘數法。
17.含參變量積分：含參量常義積分所定義的函數的連續性、可微性、可積性，求導與積分,積分與積分的次序交換。含參變量廣義積分的一直收斂及其判別法，含參量廣義積分所定義的函數的性質，尤拉積分，伽馬函數與B函數。
18.多重黎曼積分：重積分定義與性質，達布上、下和與上、下積分，可積的充要條件，可積函數類。重積分的計算：化重積分為累次積分，重積分的換元法，極坐標，柱坐標，球坐標。重積分的應用：曲面面積，重心，轉動慣量，引力。廣義重積分。
19.曲線積分與曲面積分：定向曲線，定向曲面，兩類曲線積分與兩類曲面積分的定義，性質，計算及應用。
20.向量分析初步：Green公式，Gauss公式，Stokes公式，曲線積分與路徑無關的條件，場的三度，保守場與管量場。
參考書目(須與專業目錄一致)(包括作者、書目、出版社、出版時間、版次)：
教材：
《數學分析》復旦大學數學系，高等教育出版社
教學參考書：
《數學分析簡明教程》中山大學數學系，高等教育出版社
《數學分析》華東師大數學系編，高等教育出版社。
說明：1、考試基本內容：一般包括基礎理論、實際知識、綜合分析和論證等幾個方面的內容。有些課程還應有基本運算和實驗方法等方面的內容。
2、難易程度：根據大學本科的教學大綱和本學科、專業的基本要求，一般應使大學本科畢業生中優秀學生在規定的三個小時內答完全部考題，略有一些時間進行檢查和思考。
3、考試題型：可分填空題、選擇題、計算題、簡答題、論述題等。
