線性代數知識點框架（二）

　在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數和常數項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序數組的數量乘法和加法運算。

　　數域上的n元有序數組稱為n維向量。設向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個分量。

　　n元有序數組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質區別，只是元素的寫法不同。

　　矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯系。

　　對給定的向量組，可以定義它的一個線性組合。線性表出定義的是一個向量和另外一組向量之間的相互關系。

　　利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉化為一個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結論的雙向作用。

　　從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到，如果一個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關和線性無關的定義。

　　通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關（零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等）。

　　從多個角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關和線性無關的本質。

　　部分組線性相關，整個向量組線性相關。向量組線性無關，延伸組線性無關。

　　回到線性方程組的解的問題，即一個向量b在什么情況下能由另一個向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個向量組本身是線性無關的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ..., an線性相關。如果這個向量組本身是線性相關的，則需進一步探討。

　　任意一個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數找到它的一個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關，從向量組的其余向量中任取一個進去，得到的新的向量組都線性相關，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關組。

　　如果一個向量組A中的每個向量都能被另一個向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價。

　　一個向量組可能又不止一個極大線性無關組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關組等價。

　　注意到一個重要事實：一個線性無關的向量組不能被個數比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個向量（對應線性無關）的確不可能由平面內的兩個向量組成的向量組線性表出。

　　一個向量組的任意兩個極大線性無關組所含的向量個數相等，我們將這個數目r稱為向量組的秩。

　　向量線性無關的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數目。等價的向量組有相同的秩。

　　有了秩的概念以后，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。

　　向量組的秩是一個自然數，由這個自然數就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，由此可見，秩是一個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。