2017考研數學：數項級數的學習要點

 　　2017考研數學：數項級數的學習要點

　　級數部分從大的方面來分的話主要考察數項級數及函數項級數，數項級數部分主要考察級數的斂散性，函數項級數部分涉及到求和及展開，數三的同學考察冪級數，數一的同學還考察傅里葉級數，數二的同學不考察級數。

　　數項級數，顧名思義就是級數的一般項為數，數項級數大體分為兩類考察，一類是正項級數，一般項均為正數;一類是一般項級數，一般項是可正可負的數，其中特殊的是交錯級數，一般項由正負交叉的數構成。每個類型的級數都有相應的判別斂散的方法。

　　正項級數是考察重點，數一、三的同學均以考察級數斂散的判別法為主，但出題的側重點又有所區別，數三的同學以選擇、填空小題為主，數一的同學除了考察小題以外，還會以判別法，主要是比較審斂法為主考察大題，總之，數一的同學要求更高一些。正項級數審斂法主要有：比較審斂法(常需要借助 級數)、比值審斂法(級數自身前后項相較，適用于一般項含階乘的正項級數)及根值審斂法(級數自身前后項相較，適用于一般項含 次冪的正項級數)。總得來說，比較審斂法體現了借助已知斂散性的級數判別未知，比值及根值審斂法主要是自己的事情自己做，自力更生。

　　一般項級數判斂需要遵循一定的步驟進行。首先，計算一般項的極限，如果一般項的極限不為0，那么本級數必發散;如果一般項極限為0，只能說明級數有收斂的可能性，但不能立即判斂(反例：調和級數)，那么需要進一步判定，如何判定呢?需要將級數的一般項加絕對值，這樣一個一般項級數就變為正項級數，即可由正項級數判斂的三個方法判斂，如果收斂，則此時級數收斂，且稱為絕對收斂，如果發散，則需要去掉絕對值，看一般項級數本身的斂散性;如何判別一般項級數的斂散呢?此時有兩個走向，一是看級數是否為交錯級數，如果是交錯級數，則用萊布尼茲條件判斂，收斂，則稱級數為條件收斂;若雖是交錯級數卻不滿足萊布尼茲條件，或級數是一般項級數但并非交錯級數，那么一般需考慮定義法判斂，所謂定義法，就是先計算級數的前 項和，然后前 項和取極限，若極限存在，則級數收斂，若極限不存在，則級數發散。

　　當然，除了以上介紹的審斂法以外，我們還需熟練掌握級數的一些性質(比如：收斂+收斂=收斂、增加或去掉或改變級數的有限項不影響級數的斂散性等)來判別。希望同學們在學習過程中多注意這些性質的運用。