考研數學重點難點歸納輔導 微分幾何

    第二部分

    （1） 課程名稱：微分幾何

    （2） 基本內容：三維空間中經典的曲線和曲面的理論。主要內容有：

    曲線論，內容包括：曲線的切向量與弧長；主法向量與從法向量；曲率與擾率；Frenet標架與Frenet公式；曲線的局部結構；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質，如切線的旋轉指標定理，凸曲線的幾何性質，等周不等式，四頂點定理與Cauchy-Crofton公式；空間曲線的一些整體性質，如球面的Crofton公式，Fenchel定理與Fary-Milnor定理。

    曲面的局部理論，內容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉曲面、直紋面與可展曲面；曲面的第一基本形式與內蘊量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標架與基本公式；Weingarten變換與曲面的漸近線、共扼線；法曲率；主方向、主曲率與曲率線；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部結構；Gauss映照與第三基本形式；全臍曲面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的平行移動。

    基本要求：通過本課程的學習，學生應掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微分幾何的一些常用方法。以便為以后進一步學習、研究現代幾何學打好基礎；另一方面培養學生理論聯系實際和分析問題解決問題的能力。

    二、講授綱要

    第一章 三維歐氏空間的曲線論

    §1 曲線 曲線的切向量 弧長

    教學要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數表示曲線。

    §2 主法向量與從法向量 曲率與擾率

    教學要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概

    念，會計算曲率與撓率。

    §3 Frenet標架 Frenet公式

    教學要求：掌握Frenet公式，能運用Frenet公式去解決實際問題。

    §4 曲線在一點鄰近的性質

    教學要求：能表達曲線在一點領域內的局部規范形式，理解擾率符號的集合意義。

    §5 曲線論基本定理

    教學要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。

    §6 平面曲線的一些整體性質

    6.1 關于閉曲線的一些概念

    6.2 切線的旋轉指標定理

    6.3 凸曲線*

    6.4 等周不等式*

    6.5 四頂點定理*

    6.6 Cauchy-Crofton公式*

    教學要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線、切線像、相對全曲 率、旋轉指標、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質：簡單閉曲線切

    線的旋轉指標定理，凸曲線的幾何性質，等周不等式，四頂點定理與

    Cauchy-Crofton公式。

    §7 空間曲線的整體性質

    7.1 球面的Crofton公式*

    7.2 Fenchel定理*

    7.3 Fary-Milnor定理*

    教學要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質：球面的Crofton公

    式，Fenchel定理與Fary-Milnor定理。

    第二章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何

    §1 曲面的表示 切向量 法向量

    1.1 曲面的定義

    1.2 切向量 切平面

    1.3 法向量

    1.4 曲面的參數表示

    1.5 例

    1.6 單參數曲面族 平面族的包絡面 可展曲面

    教學要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會求曲面的切平面與法線；了解旋轉曲面與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。

    §2 曲面的第一、第二基本形式

    2.1 曲面的第一基本形式

    2.2 曲面的正交參數曲線網

    2.3 等距對應 曲面的內蘊幾何

    2.4 共形對應

    2.5 曲面的第二基本形式

    教學要求：掌握曲面的第一基本形式及相關量——曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角與面積的計算，并理解其幾何意義；了解等距對應與共形對應；掌握第二基本形式。

    §3 曲面上的活動標架 曲面的基本公式

    3.1 省略和式記號的約定

    3.2 曲面上的活動標架 曲面的基本公式

    3.3 Weingarten變換W

    3.4 曲面的共軛方向 漸近方向 漸近線

    教學要求：掌握曲面上的活動標架與曲面的基本公式，能求正交參數曲線網的聯絡系數；理解Weingarten變換與共軛方向、漸近方向，會求一些簡單曲線的漸近曲線。

    §4 曲面上的曲率

    4.1 曲面上曲線的法曲率

    4.2 主方向 主曲率

    4.3 Dupin標線

    4.4 曲率線

    4.5 主曲率及曲率線的計算 總曲率 平均曲率

    4.6 曲率線網

    4.7 曲面在一點的鄰近處的形狀

    4.8 Gauss映照及第三基本形式

    4.9 總曲率、平均曲率滿足某些性質的曲面

    教學要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意義，并會對它們進行計算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能對全臍曲面與總曲率為零的曲面進行分類；掌握極小曲面的幾何意義并會求一些簡單的極小曲面。

    §5 曲面的基本方程及曲面論的基本定理

    5.1 曲面的基本方程

    5.2 曲面論的基本定理

    教學要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。

    §6 測地曲率 測地線

    6.1 測地曲率向量 測地曲率

    6.2 計算測地曲率的Liouville公式

    6.3 測地線

    6.4 法坐標系 測地極坐標系 測地坐標系

    6.5 應用

    6.6 測地擾率

    6.7 Gauss-Bonnet公式

    教學要求：理解與掌握測地曲率和測地線、測地擾率、法坐標系、測地極坐標系與測地坐標系的定義及其幾何意義；能用Liouville公式計算測地曲率與測地線；能用測地極坐標系對總曲率為常數的曲面進行研究；理解（局部）Gauss-Bonnet公式。

    §7 曲面上的向量的平行移動

    7.1 向量沿曲面上一條曲線的平行移動 絕對微分

    7.2 絕對微分的性質

    7.3 自平行曲線

    7.4 向量繞閉曲線一周的平行移動 總曲率的又一種表示

    7.5 沿曲面上曲線的平行移動與歐氏平面中平行移動的關系

    教學要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動與絕對微分。