北京航空航天大學《數學專業基礎課》2011年考研大綱

　　609 數學專業基礎課考試大綱（2011版） 
　　請考生注意： 
　　1、數學專業基礎課試題含數學分析、高等代數兩部分內容。  
　　2、每部分試題滿分75分。 
　　數學分析部分的考試大綱 
　　一、基本內容與要求 
　　(一) 極限論 
　　1、透徹理解和掌握數列極限，函數極限的概念。掌握并能運用ε-N，ε-X，ε-δ語言處理極限問題。 
　　2、掌握收斂數列的性質及運算。掌握數列極限的存在條件(單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則)；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握利用兩個重要極限處理極限問題。 
　　3、理解無窮小量和無窮大量的定義、性質和關系，掌握無窮小量階的比較和方法。 
　　4、理解與掌握一元函數連續性的定義(點，區間)，間斷點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念。 
　　5、掌握和應用閉區間上連續函數的性質（比較大比較小值性、有界性、介值性、一致連續性）；掌握初等函數的連續性，理解復合函數的連續性，反函數的連續性。 
　　6、掌握實數連續性定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理。 
　　7、理解平面點集的基本概念，二元函數的極限，累次極限，連續性概念；了解閉區間的套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數的性質。  
　　(二) 微分學 
　　1、理解和掌握導數與微分概念及其幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求函數的導數(特別是復合函數)。 
　　2、理解單側導數、可導性與連續性的關系；掌握高階導數的求法，導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。 
　　3、熟練掌握中值定理的內容、證明及其應用；熟練掌握泰勒公式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開。 
　　4、能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限；掌握函數的某些基本特性(單調性、極值與比較值、凹凸性、拐點及漸近線)，能較正確地作出某些函數的圖象。 
　　5、掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數、極值等概念；搞清全微分、偏導數、連續之間的關系；掌握多元函數泰勒公式；會求多元函數的極值。 
　　6、掌握隱函數的概念及隱函數的存在定理；會求隱函數的導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。 
　　(三) 積分學 
　　1、掌握原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數的積分；會計算簡單的無理函數的積分。  
　　2、理解定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類； 掌握定積分與可變上限積分的性質；能熟練地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。 
　　3、掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；掌握"微元法"。 
　　4、掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。 
　　5、掌握含參變量定積分的概念與性質； 掌握含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念；掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法；熟練應用歐拉公式。 
　　6、掌握兩類曲線積分的概念及計算；掌握兩類曲線積分的性質；掌握兩類曲線積分的關系；掌握格林公式的證明某些應用 ；會計算曲線積分。 
　　7、掌握二重、三重積分的概念、性質；會計算重積分；會求圖形的面積，體積及物體的質量與重心。 
　　8、掌握兩類曲面積分的概念及計算；掌握兩類曲面積分的性質； 掌握兩類兩類曲面積分的關系；會計算曲面積分。 
　　9、熟練掌握Gauss公式、Stokes公式及其應用。 
　　10、理解場論中的基本概念（梯度、散度、環量、旋度、保守場和勢函數），掌握保守場的判別條件。 
　　（四）級數論 
　　1、理解無窮級數的收斂，發散，絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；能熟練應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的（絕對）斂散性；熟悉幾何級數、調和級數與p級數。 
　　2、掌握收斂域、極限函數與和函數、函數項級數與函數列的一致收斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。 
　　3、掌握冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接展開法求函數的泰勒展開式。 
　　4、掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；能正確地敘述傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數。 
　　二、參考書目 
　　1.《數學分析》（上冊、下冊）陳紀修等編（第三版） 高等教育出版社 
　　2.《數學分析》（上冊、下冊） 華東師范大學數學系編（第三版） 高等教育出版社 

　　高等代數部分的考試大綱 
　　一、基本內容與要求 
　　1、 整數與數域上多項式的基本理論 
　　掌握整數與多項式（包括對稱多項式）的基本概念和求比較大公因數和比較大公因式的Euclid算法，多項式函數的特點及根與系數的關系，Eisenstein準則，了解代數基本定理及其應用。 
　　2、 線性方程組 
　　掌握求解線性方程組的Guass消元法，有解判定準則和解的結構定理；熟練掌握初等變換以及在求秩、逆矩陣及解線性方程組等方面的應用。 
　　3、 矩陣運算 
　　了解矩陣及其運算以及和數域上向量空間上的線性映射的關系；熟練掌握矩陣的計算方法和行列式的基本性質及計算技巧；學會線性方程組問題和矩陣問題的對應關系。 
　　4、線性空間基本理論 
　　掌握線性空間、線性映射的基本概念和理論，如子空間、不變子空間和直和的定義與性質，向量的坐標及其在線性映射的性質，了解空間的分解和分塊陣的關系。 
　　5、線性變換的基本性質和理論 
　　掌握線性變換的運算性質及特征值、特征向量和特征多項式的定義和計算，矩陣相似的概念和判定方法，Jordan標準形的計算應用，矩陣對角化的條件和判定方法；了解矩陣的性質和應用及有理標準形的定義。 
　　6、歐幾里得空間基本理論 
　　掌握歐幾里得空間的基本性質，正交基和Schmidt正交化方法以及實對稱矩陣的基本性質，掌握將實對稱矩陣化成對角陣的方法；了解比較小二乘法及酉空間的定義；學會將線性方程組問題，矩陣問題，線性變換問題的相互轉化，“幾何地”思考理解線性代數問題。 
　　7、對稱矩陣和二次型理論 
　　掌握二次型的基本理論及與矩陣理論的對應關系，掌握正定二次型的性質和應用及將實二次型化成標準型的方法，了解多重線性代數的基本概念。 
　　二、參考書 
　　1、《高等代數》，北京大學數學系 王萼芳等編，高等教育出版社，2003年版。 
　　2、《線性代數（數學專業用）》，李尚志編著，高等教育出版社，2006年版。