考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)常考知識點(diǎn)及復(fù)習(xí)要點(diǎn)

   一、線性代數(shù)課程特點(diǎn)

   考研數(shù)學(xué)中，線性代數(shù)課程特點(diǎn)比較鮮明：概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識前后緊密聯(lián)系。

   在這些特點(diǎn)背后，考生應(yīng)該充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識能融會(huì)貫通，舉一反三。由于2010年考研數(shù)學(xué)大綱還未出，因此，結(jié)合2009年考試大綱，考研育路教育網(wǎng)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家將線性代數(shù)考試重點(diǎn)內(nèi)容及復(fù)習(xí)要點(diǎn)逐一列明，供廣大考生參考。

   二、常考知識點(diǎn)及復(fù)習(xí)要點(diǎn)

   1.行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。

   2.矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。

   例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式A-1=1A*，或A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是常考的內(nèi)容之一。

   3.關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

   4.向量組的極大無關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

   5.在Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。

   6.I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。

   7.關(guān)于特征值、特征向量

   一是要會(huì)求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用；

   二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實(shí)對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對稱陣，利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應(yīng)的特征向量，從而確定出A.三是相似對角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計(jì)算行列式及An.

   8.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個(gè)：

   一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對稱陣正交相似對角陣是一個(gè)問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；

   二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。