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高數一命題預測試卷三

2003-08-29 16:15:00 來源:中國招生考試在線

高等數學(一)命題預測試卷(三)
一、選擇題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分。在每個小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內)
1.設函數 ,則 在點 處( )
A.可導 B.不連續
C.連續,但不可導 D.可微
2.方程 滿足定解條件 的特解是( )
A. B.
C. D.
3.設 ,則當 時( )
A. 是比 高階的無窮小 B. 是比 低階的無窮小
C. 與 為同階無窮小 D. 與 為等階無窮小
4.冪級數 的收斂區間為( )
A. B.
C. D.
5.若 ,則 等于( )
A. B. C. D.

二、填空題(本大題共10個小題,10個空,每空4分,共40分。把答案填在題中橫線上)
6.如果 ,那么 .
7. .
8.設函數 ,則在點 處, 間斷.
9.設函數 在點 處有 ,那么 .
10. .
11. .
12.過點(0,2,4)且與兩平面 平行的直線方程(標準式)為 .
13.改變二次積分 的次序,則I = .
14.微分方程 的通解為 .
15.已知 ,且 ,則 .

三、解答題(本大題共13個小題,共90分。解答寫出推理、演算步驟)
16.(本題滿分6分)
設 ,問k為何值時,函數 在其定義域內連續.




17.(本題滿分6分)
設 ,求 .




18.(本題滿分6分)
求由方程 所確定的隱函數 的導數 .




19.(本題滿分6分)
討論函數 在點 處的連續性與可導性.



20.(本題滿分6分)
設 ,求 .



21.(本題滿分6分)
判別級數 的斂散性.




22.(本題滿分6分)
求函數 的麥克勞林展開式(須指出收斂區間).



23.(本題滿分6分)
求解 .



24.(本題滿分6分)
計算 .



25.(本題滿分6分)
設 ,求 .



26.(本題滿分10分)
設函數的圖形上有一拐點P(2,4),在拐點P處曲線的切線斜率為-3,又知該函數的二階導數 .求此函數.



27.(本題滿分10分)
對某個量 進行 次測量,得 個測量值: .試證:當 取這 個數的算術平均值 時所產生的誤差的平方和 最小.




28.(本題滿分10分)
設 ,求 .




參考答案
一、 選擇題
1.C 2.D 3.C 4.D 5.C
二、填空題
6. 7.0
8. 9.1
10. 11.
12. 13.
14. 15.2
三、解答題
16.解 函數 的定義域為 , 在 和 均為初等函數
故 在 和 上連續。
當 時, ,

故 ,而 .
故 .
17.解 令 ,則 ,

由于u對自變量具有對稱性.

從而
同理
因而 .
18.解
兩邊對 求導,得

即 .
19.解 為有界變量,而 時, 為無窮小量.

故 ,即 在 處連續


即 不存在,故 在 處不可導.
20.解 由定積分性質將 化為




21.解
又 發散,故級數 發散.
22.解



23.解 對應齊次方程的特征方程為 ,得
故齊次方程的通解為
令原方程的特解為
對 求二階導數并代入原方程后,得 ,從而

故原方程的通解為

又 得 即
因而所求的特解為 .
24.解








25.解

故 .
26.解 設所求函數 ,則由 ,得

( 為任意常數)
由題意,有

即 得
故所求函數為 .
27.證 令

由 得駐點
由于
故 為惟一的極小值點,從而它也是在 內的最小值點
即當 取 時, 為最小.
28.解 令


兩邊對 積分,得



故 .

















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