高數一命題試卷二
2003-08-29 16:03:00 來源:中國招生考試在線
高等數學(一)命題預測試卷(二)
一、選擇題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分。在每個小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內)
1. 設 的定義域為 , ,則復合函數 的定義域為
( )
A.(0,1) B.
C. D.
2.函數 在點 處二階可導,且 ,則對于
與 ,有( )
A. B.
C. D.
3.與三個坐標軸夾角均相等的單位向量為( )
A. B.
C. D.
4.冪級數 的收斂區間為( )
A. B.
C. D.
5.方程 的通解為( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共10個小題,10個空,每空4分,共40分。把答案填在題中橫線上)
6.設 ,則 .
7. = .
8.設 可導,則 .
9.函數 在 上的最大值為 .
10. .
11. .
12.設 為 的一個原函數,則 .
13.設 ,則 .
14.設 ,則 .
15.改變二次積分 的次序,則I= .
三、解答題(本大題共13個小題,共90分。解答寫出推理、演算步驟)
16.(本題滿分6分)
計算 .
17.(本題滿分6分)
計算 .
18.(本題滿分6分)
把函數 展開為 的冪級數,并寫出其收斂區間.
19.(本題滿分6分)
求方程 的通解.
20.(本題滿分)
求過點(0,0,0)且與平面 : 及 : 同時平行的直線方程.
21.(本題滿分6分)
設函數 由方程 確定,其中F是可微函數,m與n為常數,求 .
22.(本題滿分6分)
求函數 的極值及對應曲線的拐點.
23.(本題滿分6分)
計算二重積分 ,其中 : .
24.(本題滿分6分)
用級數的逐項求導或逐項求積運算,求級數 的和函數.
25.(本題滿分6分)
設 由方程組 確定,求 .
26.(本題滿分10分)
求由曲線 與直線 所圍圖形面積.
27.(本題滿分10分)
設 ,證明方程
在 內至少有一個實根.
28.(本題滿分10分)
設由方程 確定 ,求 及 .
參考答案
一、選擇題
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B
二、填空題
6. 7.-1
8. 9.
10. 11.
12. 13.0
14. 15.
三、解答題
16.解 當 時, ,故 為有界變量
而 為無窮小量
故
另外(令 ),
故原式= .
17.解 (令 )
18.解
由 ,解得收斂區間為 .
19.解 對應齊次方程的特征方程為 ,得
因此對應齊次方程的通解為
由于原方程的自由項中,-2是特征方程的單根,
故設原方程的一個特解為 ,代入所給方程,并消去
,得 ,于是
從而原方程的解為
.
20.解 的法線向量 , 的法線向量
故所求直線的方向向量可取為
故所求直線方程為 .
21.解 設 ,則
故
從而
故
22.解
令 ,得
又
. 為極大值點,極大值為 再令 ,得 ,列表如下
0 2
+ 0 - 0 +
上凹 拐點 下凹 拐點 上凹
故此曲線有兩個拐點 與 .
23.解 .
24.解 令
則
于是
25.解 由方程組的第一個方程式對 求導得
由方程組的第二個方程式對 求導得
得
因此
又 時,由方程組可得
故 .
26.解 如右圖,聯立方程
得兩曲線的一個交點為(-1,1)
聯立方程 ,得兩曲線的
交點為(-1,1)
故
27.證 令
則
從而
由羅爾定理知 使
即
故方程 在 內至少
有一個實根.
28.解 設
則
故
一、選擇題(本大題共5個小題,每小題4分,共20分。在每個小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內)
1. 設 的定義域為 , ,則復合函數 的定義域為
( )
A.(0,1) B.
C. D.
2.函數 在點 處二階可導,且 ,則對于
與 ,有( )
A. B.
C. D.
3.與三個坐標軸夾角均相等的單位向量為( )
A. B.
C. D.
4.冪級數 的收斂區間為( )
A. B.
C. D.
5.方程 的通解為( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共10個小題,10個空,每空4分,共40分。把答案填在題中橫線上)
6.設 ,則 .
7. = .
8.設 可導,則 .
9.函數 在 上的最大值為 .
10. .
11. .
12.設 為 的一個原函數,則 .
13.設 ,則 .
14.設 ,則 .
15.改變二次積分 的次序,則I= .
三、解答題(本大題共13個小題,共90分。解答寫出推理、演算步驟)
16.(本題滿分6分)
計算 .
17.(本題滿分6分)
計算 .
18.(本題滿分6分)
把函數 展開為 的冪級數,并寫出其收斂區間.
19.(本題滿分6分)
求方程 的通解.
20.(本題滿分)
求過點(0,0,0)且與平面 : 及 : 同時平行的直線方程.
21.(本題滿分6分)
設函數 由方程 確定,其中F是可微函數,m與n為常數,求 .
22.(本題滿分6分)
求函數 的極值及對應曲線的拐點.
23.(本題滿分6分)
計算二重積分 ,其中 : .
24.(本題滿分6分)
用級數的逐項求導或逐項求積運算,求級數 的和函數.
25.(本題滿分6分)
設 由方程組 確定,求 .
26.(本題滿分10分)
求由曲線 與直線 所圍圖形面積.
27.(本題滿分10分)
設 ,證明方程
在 內至少有一個實根.
28.(本題滿分10分)
設由方程 確定 ,求 及 .
參考答案
一、選擇題
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B
二、填空題
6. 7.-1
8. 9.
10. 11.
12. 13.0
14. 15.
三、解答題
16.解 當 時, ,故 為有界變量
而 為無窮小量
故
另外(令 ),
故原式= .
17.解 (令 )
18.解
由 ,解得收斂區間為 .
19.解 對應齊次方程的特征方程為 ,得
因此對應齊次方程的通解為
由于原方程的自由項中,-2是特征方程的單根,
故設原方程的一個特解為 ,代入所給方程,并消去
,得 ,于是
從而原方程的解為
.
20.解 的法線向量 , 的法線向量
故所求直線的方向向量可取為
故所求直線方程為 .
21.解 設 ,則
故
從而
故
22.解
令 ,得
又
. 為極大值點,極大值為 再令 ,得 ,列表如下
0 2
+ 0 - 0 +
上凹 拐點 下凹 拐點 上凹
故此曲線有兩個拐點 與 .
23.解 .
24.解 令
則
于是
25.解 由方程組的第一個方程式對 求導得
由方程組的第二個方程式對 求導得
得
因此
又 時,由方程組可得
故 .
26.解 如右圖,聯立方程
得兩曲線的一個交點為(-1,1)
聯立方程 ,得兩曲線的
交點為(-1,1)
故
27.證 令
則
從而
由羅爾定理知 使
即
故方程 在 內至少
有一個實根.
28.解 設
則
故