2010年最新工程碩士GCT數學輔導四

2010年最新工程碩士GCT數學輔導四

1、某中學從高中7個班中選出12名學生組成校代表隊，參加市中學數學應用題競賽活動，使代表中每班至少有1人參加的選法共有多少種？（462）

【思路1】剩下的5個分配到5個班級。c（5,7）
　　剩下的5個分配到4個班級。c（1,7）*c（3,6）
　　剩下的5個分配到3個班級。c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）
　　剩下的5個分配到2個班級。c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）
　　剩下的5個分配到1個班級。c（1,7）

所以c（5,7）+c（1,7）*c（3,6）+c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）=462

【思路2】C（6,11）=462

2、在10個信箱中已有5個有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次隨便投入一信箱。求：
　　（1）甲、乙兩人都投入空信箱的概率。
　　（2）丙投入空信箱的概率。

【思路】

（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P（AB）=C（1,5）*C（1,4）/（10*10）=1/5
　　（2）C=丙投入空信箱，P（C）=P（C*AB）+P（C*  B）+P（C*A ）+P（C* ）=（5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5）/1000=0.385

3、設A是3階矩陣，b1=（1,2,2）的轉置陣，b2=（2,-2,1）的轉置陣，b3=（-2,-1,2）的轉置陣，滿足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.

【思路】可化簡為A（b1,b2,b3）‘=  （b1,b2,b3）′
　　求得A=

4、已知P（A）=X,P（B）=2X,P（C）=3X且P（AB）=P（BC）,求X的最大值。

【思路】P（BC）=P（AB）=P（A）=X
　　P（BC）=P（AB）小于等于P（A）=X
　　P（B+C）=P（B）+P（C）-P（BC）大于等于4X
　　又因為P（B+C）小于等于1
　　4X小于等于1，X小于等于1/4
　　所以X最大為1/4

5、在1至2000中隨機取一個整數，求
　　（1）取到的整數不能被6和8整除的概率
　　（2）取到的整數不能被6或8整除的概率

【思路】設A=被6整除，B=被8整除；
　　P（B）=[2000/8]/2000=1/8=0.125；
　　P（A）=[2000/6]/2000=333/2000=0.1665；[2000/x]代表2000/x的整數部分；
　　（1）求1-P（AB）;AB為A 、B的最小公倍數；
　　P（AB）=[2000/24]/2000=83/2000=0.0415；答案為1-0.0415=0.9585
　　（2）求1-P（A+B）;P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.25;答案為1-0.25=0.75.

6、任意將10本書放在書架上，其中有兩套書，一套3卷，一套4卷，求兩套各自放在一起，還按卷次順排好的概率。

【思路】將兩套書看作兩本書，加上另外3本，共有5本，有5!中；
　　兩套書每一套有兩種排法（按卷次順排好有123和321，1234和4321），
　　所以答案是（5！*2*2）/10！

7、袋中有20個球，其中5個紅球，15個白球，每次從中取出5個球，最后不放回，求第三次取出的5個球中有紅球的概率。（答案0.628）

【思路】設A為有紅球，Bi為前2次取出紅球有i個（i=0,1,2,…，5）個，
　　則剩下10個球中有對應有5-i個紅球。
　　P（Bi）=C（5,i）C（15,10-i）/C（20,10）;
　　P（A/Bi）=1-C（10-（5-i）,5）/C（10,5）=1-C（5+i,5）/c（10,5）;
　　P（A）=P（A/Bi）*P（Bi）之和（i=0,1,2,…，5）

8、一表面為紅色的正方體被分割成1000個同樣大小的正方體，現在從中任意取一個小正方體，求恰有兩面涂有紅色的概率。

【思路】正方體有12條棱，每條棱上有8個符合要求；其它則不合要求。

答案為12*8/1000=0.096

9、從n雙型號各不相同的鞋子中任取2r只（2r小于等于n），求下列事件概率
　　（1）A=沒有一雙配對
　　（2）B=恰有一雙配對

【思路】（1）先從N雙鞋子中取2r雙，在從2r雙中每雙選1只。
　　前半個是 ，后面是22r,共有 22r
　　（2）2r只中2r-2只不配對，2支配對。先從n雙中挑出1雙[C =n];在從剩下的（n-1）雙中挑出2r-2只不　　配對，由（1）可知共有  22r-2;  B=n 22。