2010年GCT跟我學(xué)專欄—數(shù)學(xué)（4）

　　1、某中學(xué)從高中7個(gè)班中選出12名學(xué)生組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競賽活動(dòng)，使代表中每班至少有1人參加的選法共有多少種？（462）

　　【思路1】剩下的5個(gè)分配到5個(gè)班級(jí)。c（5,7）

　　剩下的5個(gè)分配到4個(gè)班級(jí)。c（1,7）*c（3,6）

　　剩下的5個(gè)分配到3個(gè)班級(jí)。c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）

　　剩下的5個(gè)分配到2個(gè)班級(jí)。c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）

　　剩下的5個(gè)分配到1個(gè)班級(jí)。c（1,7）

　　所以c（5,7）+c（1,7）*c（3,6）+c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）=462

　　【思路2】C（6,11）=462

　　2、在10個(gè)信箱中已有5個(gè)有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次隨便投入一信箱。求：

　　（1）甲、乙兩人都投入空信箱的概率。

　　（2）丙投入空信箱的概率。

　　【思路】

　　（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P（AB）=C（1,5）*C（1,4）/（10*10）=1/5

　　（2）C=丙投入空信箱，P（C）=P（C*AB）+P（C*  B）+P（C*A ）+P（C* ）=（5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5）/1000=0.385

　　3、設(shè)A是3階矩陣，b1=（1,2,2）的轉(zhuǎn)置陣，b2=（2,-2,1）的轉(zhuǎn)置陣，b3=（-2,-1,2）的轉(zhuǎn)置陣，滿足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.

　　【思路】可化簡為A（b1,b2,b3）‘=  （b1,b2,b3）′

　　求得A=

　　4、已知P（A）=X,P（B）=2X,P（C）=3X且P（AB）=P（BC）,求X的最大值。

　　【思路】P（BC）=P（AB）=P（A）=X

　　P（BC）=P（AB）小于等于P（A）=X

　　P（B+C）=P（B）+P（C）-P（BC）大于等于4X

　　又因?yàn)镻（B+C）小于等于1

　　4X小于等于1，X小于等于1/4

　　所以X最大為1/4

　　5、在1至2000中隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)，求

　　（1）取到的整數(shù)不能被6和8整除的概率

　　（2）取到的整數(shù)不能被6或8整除的概率

　　【思路】設(shè)A=被6整除，B=被8整除；

　　P（B）=[2000/8]/2000=1/8=0.125；

　　P（A）=[2000/6]/2000=333/2000=0.1665；[2000/x]代表2000/x的整數(shù)部分；

　　（1）求1-P（AB）;AB為A 、B的最小公倍數(shù)；

　　P（AB）=[2000/24]/2000=83/2000=0.0415；答案為1-0.0415=0.9585

　　（2）求1-P（A+B）;P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.25;答案為1-0.25=0.75.

　　6、任意將10本書放在書架上，其中有兩套書，一套3卷，一套4卷，求兩套各自放在一起，還按卷次順排好的概率。

　　【思路】將兩套書看作兩本書，加上另外3本，共有5本，有5!中；

　　兩套書每一套有兩種排法（按卷次順排好有123和321，1234和4321），

　　所以答案是（5！*2*2）/10！

　　7、袋中有20個(gè)球，其中5個(gè)紅球，15個(gè)白球，每次從中取出5個(gè)球，最后不放回，求第三次取出的5個(gè)球中有紅球的概率。（答案0.628）

　　【思路】設(shè)A為有紅球，Bi為前2次取出紅球有i個(gè)（i=0,1,2,…，5）個(gè)，

　　則剩下10個(gè)球中有對(duì)應(yīng)有5-i個(gè)紅球。

　　P（Bi）=C（5,i）C（15,10-i）/C（20,10）;

　　P（A/Bi）=1-C（10-（5-i）,5）/C（10,5）=1-C（5+i,5）/c（10,5）;

　　P（A）=P（A/Bi）*P（Bi）之和（i=0,1,2,…，5）

　　8、一表面為紅色的正方體被分割成1000個(gè)同樣大小的正方體，現(xiàn)在從中任意取一個(gè)小正方體，求恰有兩面涂有紅色的概率。

　　【思路】正方體有12條棱，每條棱上有8個(gè)符合要求；其它則不合要求。

　　答案為12*8/1000=0.096

　　9、從n雙型號(hào)各不相同的鞋子中任取2r只（2r小于等于n），求下列事件概率

　　（1）A=沒有一雙配對(duì)

　　（2）B=恰有一雙配對(duì)

　　【思路】（1）先從N雙鞋子中取2r雙，在從2r雙中每雙選1只。

　　前半個(gè)是 ，后面是22r,共有 22r

　　（2）2r只中2r-2只不配對(duì)，2支配對(duì)。先從n雙中挑出1雙[C =n];在從剩下的（n-1）雙中挑出2r-2只不　　配對(duì)，由（1）可知共有  22r-2;  B=n 22