一、填空題1.有一列由三個數組成的數組，它們依次是（1 ，5 ，10）；
（2 ，10，20）；（3 ，15，30）；……第99個數組內三個數的和是______.

    2.有數組：（1 ，1 ，1 ），（2 ，4 ，8 ），（3 ，9 ，27），……，第
100 組的三個數之和是___.

    3.有數組{1，2 ，3 ，4}，{2，4 ，6 ，8}，{3，6 ，9 ，12} ，……，那
么第100 個數組的四個數的和是______.

    4.將自然數按下面的規律分組：（1 ，2 ），（3 ，4 ，5 ，6 ），（7 ，
8 ，9 ，10，11，12），（13， 14 ，15，16，17，18，19，20），……，第1991
組的第一個數和最后一個數各是______.

    5.將奇數按下列方式分組：（1 ），（3 ，5 ），（7 ，9 ，11），（13，
15，17，19），……。

    （1 ）第15組中第一個數是______；（2 ）第15組中所有數的和是______；
（3 ） 999位于第____組第____號。

    6.自然數列1 ，2 ，3 ，…，，…，它的第組含有2 -1個數，第10組中各數
的和是______.

    7.給定以下數列：，，，，，，，，，，…，（1 ）是第____項；（2 ）第
244 項是____；（3 ）前30項之和是____.

    8.在以下數列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第___ 項。

    9.設自然數按下圖的格式排列：1 2 5 10 17 …

    4 3 6 11 18 …

    9 8 7 12 19 …

    16 15 14 13 20…

    25 24 23 22 21…

    ………………

    （1 ） 200所在的位置是第____行，第____列；（2 ）第10行第10個數是______.

    10. 緊接著1989后面寫一串數字，寫下的數字都是它們前面兩個數字之積的
個位數，例如8 ×9=72，在9 后面寫2 ，2 ×9=18，在2 后面寫8 ，…，這樣得
到一串數字，從1 開始，第1989個數字是______.

    二、解答題11. 將1 到1989的自然數從頭開始，依次第四個數一組，第一組
各數間添上"+" 號，第二組各數間添上" 一" 號，以后各組以"+" ，" 一" 號相
間隔，列成一個算式：1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-…。問：（1 ） 1989
前添什么號？

    （2 ）求這個算式的結果。

    12. 把由1 開始的自然數依次寫下來：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
…。

    重新分組，按三個數字為一組：123 ，456 ，789 ，101 ，112 ，131 ，…，
問第10個數是幾？

    13. 根據下圖回答：（1 ）第一行的第8 個數是幾？

    （2 ）第五行第六列上的數是幾？

    （3 ） 200的位置在哪一格（說出所在行和列的序號）？

    14. 已知自然數組成的數列：1 ，2 ，3 ，…，9 ，10，11，12，…，把這
個數列的10和大于10的數，全部用逗號隔成一位數，做成一個新的數列：1 ，2 ，
3 ，…，9 ，1 ，0 ，1 ，1 ，1 ，2 ，…。

    問：（1 ）中100 這個數的個位上的"0" 在中是第幾個數？

    （2 ）中第100 個數是幾？這個數在中的哪個數內？是它的哪一位數？

    （3 ）到的第100 個數為止，"3" 這個數字出現了幾次？

    （4 ）中前100 個數的和是多少？

---------------答 案----------------------

    答案：1.解法一這串數組，各組數的和是16，32，48，…。各組數的和分別
是按16的1 倍，2 倍，3 倍，……的規律遞增。因此，第99個數組的和是16×99=16
×（100-1 ）=1600-16=1584.解法二通過觀察可以發現，每一組括號中的三個數
的關系是：第一個數表示組數，第二個數是第一個數的5 倍，第三個數是第一個
數的10倍。因此，第99組內三個數應為：（99，99×5 ，99×10）。所以，第99
個數組的和是：99+99 ×5+99×10=99 ×（1+5+10）

    =99 ×16 =1584

    2.解法一通過觀察可以發現，每一組括號中三個數的關系是：第一個數表示
組數，第二個數是第一個數自乘的積，第三個數是第一、二兩數的乘積，因此，
第100 組中的三個數應分別是：第一個數是100 ；第二個數是100 ×100=10000
；第三個數是100 ×10000=1000000 ，所以，第100 組的三個數的和為：100+10000+1000000=1010100.
解法二通過觀察可發現每一組的三個數的和可以用通項公式表示， =1 ，2 ，3 ，
…。因此，第100 組的三個數之和是：。

    3.解法一這串數組，各組數的和是10，20，30，40，…。因此，第100 個數
中的四個數的和是100 ×10=1000.解法二通過觀察可以發現，每一組數括號中四
個數的關系是：第一個數表示組數，第二個數是第一個數的2 倍，第三個數是第
一個的3 倍，第四個數是第一個數的4 倍。因此，第100 個數組內的四個數分別
是：（100 ，200 ，300 ，400 ）。

    所以，第100 個數組的四個數的和是：100+200+300+400=1000.

    4.仔細觀察找出這些自然數分組的規律，再找出每一組的第一個數與該組的
序數之間的關系。

    第1 組的第1 個數是：1=（1-1 ）×1+1 ；第2 組的第1 個數是：3=（2-1 ）
×2+1 ；第3 組的第1 個數是：7=（3-1 ）×3+1 ；第4 組的第1 個數是：13=
（4-1 ）×4+1 ；……

    根據這一規律，可求出第1991組的第1 個數是：（1991-1）×1991+1=3962091.
第1992組的第一個數是：（1992-1）×1992+1=3966073. 因此，第1991組的最后
一個數是：3966073-1=3966072.

    5.（1 ）從第1 組到第14組的奇數有1+2+3+…+14= =105 （個）。

    因此，第15組最初一個數是第106 個奇數：2 ×106-1=211.（2 ）在第15組
中的數是以211 為首項，公差為2 ，項數等于15的等差數列，其和是15×211+×
2=3375. （3 ）設999 位于第組，因31×32=992，32×33=1056 ，所以 =32，第
32組最初一個數是：[2×（1+2+…+31 ）-1]+2=993.因此，999 是第32組的第4
號數。

    6.第1 組到第9 組共有自然數：1+3+5+…+ （2 ×9-1 ）= =18 （個）。

    因此，第10組第1 號數是82，第10組有2 ×10-1=19 個數，所以第10組各數
之和為。

    7.（1 ）以分母相同的分數分組，并記分母為的分數屬于第組，從而是第29
組的第13號數，第組由個分數組成，從第1 組到第28組有1+2+3+…+28= =406 個
分數，因此位于第406+13=419項。

    （2 ）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244 項在第22組，前
21組有 =231 個分數，從而第244 項是居于第22組中的第13號數，是 .（3 ）前
30項之和為1+（1+2 ）+ （1+2+3 ）+ …+ （1+2+…+7）+ + =1+ + …+ + =
（2+3+4+…+8）+ = × + = =17 .

    8.將分子與分母之和相等者歸于同一組：，，，，…，其中在7+19-1=25 組，
是第19號數。1 至24組共有分數1+2+3+…+24= =300 （個）。

    所以在原數列中是第300+19=319項。

    9.注意到第一列是完全平方數： 1，4 ，9 ，16，25，…。

    按（1 ），（2 ，3 ，4 ），（5 ，6 ，7 ，8 ，9 ），…分組，則200 在
196 與225 之間，屬第15組，倒數第4 個數，在第4 行、第15列上。

    第10行第10個數是位于第10行第10列上的數91.

    10. 寫出前面幾個數字：198928688428688428…，1989后面的六位數字出現
循環。

    （1989-4）÷6=330 …5 ，所以第1989位數字是8.

    11. 1989÷8=248 …5 ，所以1989前添的是"-" 號。觀察到，從第3 個數起，
每8 個數之和為0 ：3+4-5-6-7-8+9+10=0，11+12-13-14-15-16+17+18=0 ，……
……………………

    （1989-2）÷8=248 …3 ，所以，這個算式的結果是：1+2+1987+1988-1989=1989.

    12. 1 到9 有9 個數字，10到19有20個數字，第10個三位數是192.

    13. （1 ）所有自然數按自右上至左下以斜線分組：

    （1 ），（2 ，3 ），（4 ，5 ，6 ），（7 ，8 ，9 ，10），…，第組第
1 號數是第一行的第個數。從第1 組到第（ -1 ）組有：1+2+3+…+ （ -1 ）=
個數，從而第組第1 號數是 +1.因此，第1 行第8 個數是 +1=29. （2 ）一般地，
自上至下第行，自左至右第列上的數在第（ + -1 ）組中，第五行第六列上的數
在第10組中，第10組第1 號數是 +1=46，第10組在第五行的數是46+5-1=50.（3 ）
19×20=380，20×21=420，故200 在第20組中，第20組第一個數是+1=191，因此
數200 在第10行第11列的位置上。

    14. （1 ）數100 之前有數字9+2 ×90=189（個），所以數100 的個位上的
"0" 在中是第189+3=192 個數。

    （2 ）中第9+2 ×40=89 個數是中數49的"9" ：4950515253545556…，中第
100 個數是中數55的十位數上的"5".（3 ）到的第100 個數為止，數字"3" 一共
出現了1+1+1+11+1+1=16 （次）。

    （4 ）中前100 個數字之和為（1+2+…+9）×5+10×（1+2+3+4 ）+6×5+
（0+1+2+3+4 ）

    =225+100+30+10 =365.