31. 推銷員的旅程問題

    這類問題非常值得討論，因為它們與實際生活密切相關。雖說問題本身很簡
明，但令人困惑的是，至今沒有得出任何解析解。

    李文黛的最短路徑為91英里，她的行程如下所示：

    如果把漢尼頓列入行程中，則最短行程為：艾克塞特→歐卡漢頓→克雷頓→
提文頓→卡林頓→漢尼頓→艾克茅茲→艾克塞特，總里程數為100 英里。

    因為最短行程的各路線彼此不相交錯，故其行程為一簡單封閉曲線，所以不
論以哪一個城鎮作為起點及終點，其里程數均相等。但是如果起點和終點可以在
不同的城鎮，那么只要將整個行程顛倒過來（依原行程反向而行），以艾克塞特
為起點，歐卡漢頓為終點，則可節省23英里的路程。

    找到走完“十巖”的最短路徑是相當有趣的問題。作者相信上圖所示的路徑
為最短路徑，但讀者也可提出反駁（注意：高度的變化、橫越河流與地勢的差異
都是健行者考慮的因素）。最短的路徑為16.6英里。

    在尋找最短路徑時，需要了解如果從A 到B 的路徑由A 、B 兩點的直線改為
經過中間點P ，可能會使路程增加。如果∠APB 不比180 °小很多，則幾乎可以
忽略增加的路程；但當∠APB 為銳角時，則路程將會顯著增加。參考上列的路線
圖，并比較由克蘭密爾池經荒野巖到懸石巖，以及由毛皮巖經野兔巖到布雷克巖
這兩小段路徑因為經過中間點而增加的里程。

    33. 尋找寶藏

    將坐標變換與尋寶圖結合，使這個數學問題變得更加有趣了。在解決了幾個
問題之后，你可以試著自己設計藏寶圖與線索。

    此題的寶藏位在（7 ，3 ），每一條線索所指示的地點為：

    （1 ）→（1 ，3 ）（2 ）→（4 ，3 ）（3 ）→（4 ，7 ）（4 ）→（6 ，
7 ）

    （5 ）→（8 ，5 ）（6 ）→（5 ，8 ）（7 ）→（11，7 ）（8 ）→（7 ，
3 ）

    34. 平行線的限制

    此題并不需要使用三角學的知識去計算三角形的大小。

    先在直線l 上任取一點A 點，然后用描圖紙和一個量角器將3 條平行線l 、
m 、n 自定點A 逆時針旋轉60°，而得出l ＇、m ＇、n ＇這3 條平行線（圖1 ）。

    這個旋轉將自動地映射三角形的AC邊，而作出AB邊的圖（參見第69頁的圖形）。
換言之，C 映成B ，所以經過C 點的直線n 將映成經過B 點的直線，所以B 點為
直線n ＇與m 的交點。在找到AB邊之后，很容易完成等邊三角形ABC.以A 點為中
心，依順時針方向旋轉60°，則可找出C 點就是直線m ＇與n 的交點。

    要作出頂點分別落在平行四邊形的4 條邊上的正方形也可以利用旋轉來處理。
這個問題可以利用90°旋轉來解。

    在圖2 中的平行四邊形PQRS內有一個正方形ABCD，圖3 顯示出PQRS對其中心
旋轉90°后的情形。這時正方形的4 個頂點可由下列直線的交集清楚地定義出來
：

    A ＝PQ∩S ＇P ＇，B ＝QR∩P ＇Q ＇

    C ＝RS∩Q ＇R ＇，D ＝SP∩R ＇S ＇

    使用描圖紙來輔助P ＇Q ＇R ＇S ＇的繪圖，可直接作出正方形ABCD的圖形。

    圖4 顯示出正方形的兩個頂點落在平行四邊形之外的情形，這個問題是要你
找出頂點落在兩對相交的平行線上的正方形。

    35. 盒子游戲

    許多孩子都很喜歡玩這個游戲，教師們不妨把它作為指派給學生的第一份研
究作業。“假設…，會怎么樣？”這類問題對孩子而言應不至于太困難，他們可
以借此課題做一些簡單的分析練習。