例5 的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：

　　方法2：[3，7]+2=23

　　23除以5恰好余3。

　　所以，符合條件的最小自然數(shù)是23。

　　方法2的思路是什么呢？讓我們?cè)賮?lái)看下面兩道例題。

例6 一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小的自然數(shù)。

分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。

　　解：[5，6]-2=28，即28適合前兩個(gè)條件。

　　想：28+[5，6]×？之后能滿足“7除余1”的條件？

　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，

　　又148＜210=[5，6，7]

　　所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148。

例7 一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。

　　解：想：2+3×？之后能滿足“5除余3”的條件？

　　2+3×2=8。

　　再想：8+[3，5]×？之后能滿足“7除余4”的條件？

　　8+[3，5]×3=53。

　　∴符合條件的最小的自然數(shù)是53。

　　歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法.當(dāng)找到滿足某個(gè)條件的數(shù)后，為了再滿足另一個(gè)條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時(shí)注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。

　　解這類題目還有其他方法，將會(huì)在有關(guān)“同余”部分講到。

例8 一個(gè)布袋中裝有小球若干個(gè).如果每次取3個(gè)，最后剩1個(gè)；如果每次取5個(gè)或7個(gè)，最后都剩2個(gè).布袋中至少有小球多少個(gè)？

　　解：2+[5，7]×1=37（個(gè)）

　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，

　　∴布袋中至少有小球37個(gè)。

例9 69、90和125被某個(gè)正整數(shù)N除時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值。

分析 在解答此題之前，我們先來(lái)看下面的例子：

　　15除以2余1，19除以2余1，

　　即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）。

　　但是19-15能被2整除.

　　由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個(gè)整數(shù)a和b，均被自然數(shù)m除，余數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果兩個(gè)整數(shù)之差恰被m整除，那么這兩個(gè)整數(shù)被m除的余數(shù)一定相同。

　　例9可做如下解答：

　　∵三個(gè)整數(shù)被N除余數(shù)相同，

　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，

　　∴N是21和35的公約數(shù)。

　　∵要求N的最大值，

　　∴N是21和35的最大公約數(shù)。

　　∵21和35的最大公約數(shù)是7，

　　∴N最大是7。