一、基本概念和知識

　　1.整除——約數和倍數

　　例如：15÷3=5，63÷7=9

　　一般地，如a、b、c為整數，b≠0，且a÷b=c，即整數a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數而沒有余數（或者說余數是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。

　　如果整數a能被整數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

　　例如：在上面算式中，15是3的倍數，3是15的約數；63是7的倍數，7是63的約數。

　　2.數的整除性質

　　性質1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

　　即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

　　例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），

　　并且2｜（10—6）。

　　性質2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

　　性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那么b與c的積能整除a。

　　即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

　　例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,

　　那么（2×7）｜28。

　　性質4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

　　3.數的整除特征

　　①能被2整除的數的特征：個位數字是0、2、4、6、8的整數.“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數（包括0）的整數，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數，其個位數字只能是偶數（包括0）.下面“特征”含義相似。

　　②能被5整除的數的特征：個位是0或5。

　　③能被3（或9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。

　　④能被4（或25）整除的數的特征：末兩位數能被4（或25）整除。

　　例如：1864=1800＋64，因為100是4與25的倍數，所以1800是4與25的倍數.又因為4｜64，所以1864能被4整除.但因為2564，所以1864不能被25整除.

　　⑤能被8（或125）整除的數的特征：末三位數能被8（或125）整除。

　　例如：29375＝29000＋375，因為1000是8與125的倍數，所以29000是8與125的倍數.又因為125｜375，所以29375能被125整除.但因為8375，所以829375。

　　⑥能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是11的倍數。

　　例如：判斷123456789這九位數能否被11整除？

　　解：這個數奇數位上的數字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數位上的數字之和是8＋6＋4＋2＝20.因為25—20＝5，又因為115，所以11123456789。

　　再例如：判斷13574是否是11的倍數？

　　解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因為0是任何整數的倍數，所以11｜0.因此13574是11的倍數。

　　⑦能被7（11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（11或13）整除。

　　例如：判斷1059282是否是7的倍數？

　　解：把1059282分為1059和282兩個數.因為1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍數。

　　再例如：判斷3546725能否被13整除？

　　解：把3546725分為3546和725兩個數.因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725.