海文考研數學線性代數重點內容講解

    2010年9月3日教育部考試中心發布了2011年全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱，試卷題型結構為：單項選擇題 8小題，每小題4分，共32分；填空題6小題，每小題4分，共24分，解答題（包括證明題）9小題，共94分；均與2010年全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱相同。對于考生來說，不會有任何復習范圍的調整之憂，可以按照自己原來的計劃進行下去，那么接下來如何復習就成為考生關注的焦點。為了幫助考生有效地進行考研復習，我們認識一下考研數學線性代數部分的重點內容和典型題型。

    線性代數在考研數學中占有重要地位，必須予以高度重視。線性代數試題的特點比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，必須注重計算能力。線性代數在數學一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學好線代也是必要的，下面就將線代中重點內容和典型題型做了總結，希望對大家學習有幫助。

    行列式在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內容，不只是考察行列式的概念、性質、運算，與行列式有關的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節的試題中得以體現。行列式的重點內容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質對行列式進行恒等變形，化簡之后再展開。另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等）的計算方法也應掌握。常見題型有：數字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

    矩陣是線性代數的核心，是后續各章的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始終。這部分考點較多，重點考點有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。這幾年還經常出現有關初等變換與初等矩陣的命題。常見題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關聯的命題、有關初等變換的命題、有關逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

    向量組的線性相關性是線性代數的重點，也是考研的重點。考生一定要吃透向量組線性相關性的概念，熟練掌握有關性質及判定法并能靈活應用，還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。常見題型有：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

    往年考題中，方程組出現的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數部分考查的重點內容。本章的重點內容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對參數取值的討論）。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

    特征值、特征向量是線性代數的重點內容，是考研的重點之一，題多分值大，共有三部分重點內容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。重點題型有：數值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關實對稱矩陣的問題。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

    由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎。重點內容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念；了解二次型的規范形和慣性定理；掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標準形；理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形、二次型正定性的判別。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精講》。

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