2011年考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型分析

　2010年9月3日教育部考試中心發(fā)布了2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱，試卷題型結(jié)構(gòu)為：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題 8小題，每小題4分，共32分;填空題6小題，每小題4分，共24分，解答題(包括證明題)9小題，共94分;均與2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱相同。對(duì)于考生來(lái)說(shuō)，不會(huì)有任何復(fù)習(xí)范圍的調(diào)整之憂(yōu)，可以按照自己原來(lái)的計(jì)劃進(jìn)行下去，那么接下來(lái)如何復(fù)習(xí)就成為考生關(guān)注的焦點(diǎn)。為了幫助考生有效地進(jìn)行考研復(fù)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)一下考研數(shù)學(xué)線(xiàn)性代數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型。
　　線(xiàn)性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視。線(xiàn)性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較突出，以計(jì)算題為主，證明題為輔，因此，必須注重計(jì)算能力。線(xiàn)性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學(xué)好線(xiàn)代也是必要的，下面就將線(xiàn)代中重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型做了總結(jié)，希望對(duì)大家學(xué)習(xí)有幫助。
　　行列式在整張?jiān)嚲碇兴�占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內(nèi)容，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、矩陣的秩、線(xiàn)性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問(wèn)題中都會(huì)涉及到行列式。如果試卷中沒(méi)有獨(dú)立的行列式的試題，必然會(huì)在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn)。行列式的重點(diǎn)內(nèi)容是掌握計(jì)算行列式的方法，計(jì)算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開(kāi)公式將行列式降階。但在展開(kāi)之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再展開(kāi)。另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三對(duì)角行列式、爪型行列式等等)的計(jì)算方法也應(yīng)掌握。常見(jiàn)題型有：數(shù)字型行列式的計(jì)算、抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算。
　　矩陣是線(xiàn)性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線(xiàn)性代數(shù)的始終。這部分考點(diǎn)較多，重點(diǎn)考點(diǎn)有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類(lèi)常見(jiàn)試題。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。常見(jiàn)題型有以下幾種：計(jì)算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題、有關(guān)初等變換的命題、有關(guān)逆矩陣的計(jì)算與證明、解矩陣方程。
　　向量組的線(xiàn)性相關(guān)性是線(xiàn)性代數(shù)的重點(diǎn)，也是考研的重點(diǎn)。考生一定要吃透向量組線(xiàn)性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線(xiàn)性表出、向量組的秩及線(xiàn)性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線(xiàn)性相關(guān)性的理解。常見(jiàn)題型有：判定向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、向量組線(xiàn)性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線(xiàn)性表出、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題。關(guān)于每個(gè)重要題型的具體方法以及例題見(jiàn)《全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)120種�？碱}型精講》。
　　往年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線(xiàn)性代數(shù)部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容。本章的重點(diǎn)內(nèi)容有：齊次線(xiàn)性方程組有非零解和非齊次線(xiàn)性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次(非齊次)線(xiàn)性方程組的求解(含對(duì)參數(shù)取值的討論)。主要題型有：線(xiàn)性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線(xiàn)性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題。
　　特征值、特征向量是線(xiàn)性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，是考研的重點(diǎn)之一，題多分值大，共有三部分重點(diǎn)內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計(jì)算、方陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化。重點(diǎn)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對(duì)角化、由特征值或特征向量反求A、有關(guān)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題。
　　由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣式一一對(duì)應(yīng)的，所以二次型的很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題，可見(jiàn)正確寫(xiě)出二次型的矩陣式處理二次型問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)。重點(diǎn)內(nèi)容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念;了解二次型的規(guī)范形和慣性定理;掌握用正交變換并會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點(diǎn)題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、二次型正定性的判別。