線性代數知識點框架（四）

　　在之前研究線性方程組的解的過程當中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應用，故還有必要對矩陣及其運算進行專門探討。

　　矩陣的加法和數乘，與向量的運算類同。

　　矩陣的另外一個重要應用：線性變換（最典型例子是旋轉變換）。即可以把一個矩陣看作是一種線性變換在數學上的表述。

　　矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對應的是旋轉一個角度a，矩陣B對應的是旋轉一個角度b，則矩陣AB對應的是旋轉一個角度a+b。

　　矩陣乘法的特點：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應乘積之和；A的列數要和B的行數相同；C的行數是A的行數，列數是B的列數。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結合律。

　　利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為：Ax=b。

　　對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩。

　　關于矩陣乘積的另外一個重要結論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。

　　一些特殊的矩陣：單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經過一次初等變換得到的矩陣。

　　每一個初等矩陣對應一個初等變換，因為左乘的形式為PA（P為初等矩陣），將A寫成行向量組的形式，PA意味著對A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對A做了一次初等列變換，故左乘對應行變換，右乘對應列變換。

　　若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。

　　第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據是行列式的按行（列）展開。

　　矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無關，滿秩，要注意這些結論之間的充分必要性。

　　單位陣和初等矩陣都是可逆的。

　　若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因為初等矩陣滿秩，故最后化成的階梯型（最簡形）中非零行數目等于行數，主元數目等于列數，這即是單位陣。進一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對應的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因為單位陣在乘積中可略去。

　　可逆矩陣作為因子不會改變被乘（無論左乘右乘）的矩陣的秩。

　　由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結果是將這個單位陣變為原來矩陣的逆陣，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對應行變換，右乘對應列變換。

　　矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個整體，對這些被看作是整體的對象構成的新的矩陣，運算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實際也就是一種最常見的對矩陣進行分塊的方式。