清華大學2000年研究生考試數據結構與程序設計專業試題

　　1、（12分）

　　請回答下列關于圖（Graph）的一些問題：

　　①（4分）有n個頂點的有向連通圖最多有多少條邊？最少有多少條邊？

　　②（4分）表示一個有1000個頂點、1000條邊的有向圖的鄰接矩陣有多少個矩陣元素？是否稀疏矩陣？

　　③（4分）對于一個有向圖，不用拓撲排序，如何判斷圖中是否存在環？

　　2、（12分）

　　斐波那契數列Fn定義如下：

　　F0=0，F1=1，Fn= Fn-1 + Fn-2，n=2，3，…

　　請就此斐波那契數列，回答下列問題：

　　①（7分）在遞歸計算Fn的時候，需要對較小的Fn－1，Fn－2，…，F1，F0精確計算多少次？

　　②（5分）若干有關大O表示法，試給出遞歸計算Fn時遞歸函數的時間復雜度是多少？

　　3、（17分）

　　有一種簡單的排序算法，叫做計數排序（count sorting）。這種排存算法對一個待排序的表（用數組表示）進行排序，并將排序結果存放到另一個新的表中。必須注意的是，表中所有待排序的關鍵碼互不相同。計數排序算法針對表中的每個記錄，掃描待排序的表一趟，統計表中有多少個記錄的關鍵碼比該記錄的關鍵碼小。假設針對某一個記錄，統計出的計數值為c，那么，這個記錄在新的有序表中的合適的存放位置即為c.

　　①（3分）給出適用于計數排序的數據表定義；

　　②（7分）使用Pascal或C語言編寫實現計數排序的算法；

　　③（4分）對于有n個記錄的表，關鍵碼比較次數是多少？

　　④（3分）與簡單選擇排序相比較，這種方法是否更好？為什么？

　　4、（10分）

　　在一棵表示有序集S的二叉搜索樹（binary search tree）中，任意一條從根到葉節點的路徑將S分為3部分：在該路徑左邊節點中的元素組成的集合S1；在該路徑上的節點中的元素組成的集合S2；在該路徑右邊節點中的元素組成的集合S3.S＝S1∪S2∪S3.若對于任意的a∈S1，b∈S2，c∈S3，是否總有a<=b<=c？為什么？

　　5、（12分）請回答下列關于堆（Heap）的一些問題：

　　①（4分）堆的存儲表示是順序的，還是鏈接的？

　　②（4分）設有一個最小堆，即堆中任意節點的關鍵碼均大于它的左子女和右子女的關鍵碼。其具有最大值的元素可能在什么地方？

　　③（4分）對n個元素進行初始建堆的過程中，最多做多少次數據比較（不用大O表示法）？

　　6、（12分）

　　已知Q是一個非空隊列，S是一個空棧。僅用隊列和棧的ADT函數和少量工作變量，使用Pascal或C語言編寫一個算法，將隊列Q中的所有元素逆置。

　　棧的ADT函數有：

　　makeEmpty（s：stack）；置空棧

　　push（s：stack；value：datatype）；新元素value進棧

　　pop（s：stack）：datatype；出棧，返回棧頂值

　　isEmpty（s：stack）：boolean；判棧空否

　　隊列的ADT函數有

　　enqueue（q：queue；value：datatype）；元素value進隊

　　deQueue（q：queue）：datatype；出隊列，返回隊頭值

　　isEmpty（q：queue）：boolean；判隊列空否

　　7、（13分）

　　設散列表為HT[0……12]，即表的大小為m=13.現采用雙散列法解決沖突。散列函數和在散列函數分別為：

　　H0（key）=key%13；注：％是求余數運算（＝mod）

　　Hi=（Hi-1+REV（key+1）%11+1）%13；i=1，2，3，…，m-1

　　其中，函數REV（x）表示顛倒10進制數x的各位，如REV（37）=73，REV（7）=7等。若插入的關鍵碼序列為{2，8，31，20，19，18，53，27}.

　　①（8分）試畫出插入這8個關鍵碼后的散列表。

　　②（5分）計算搜索成功的平均搜索長度ASL.

　　8、（12分）

　　從左到右及從右到左遍歷一個單鏈表是可能的，其方法是在從左向右遍歷的過程中將連接方向逆轉，如圖1所示。在圖中的指針p指向當前正在訪問的節點，指針pr指向指針p所指節點的左側的節點。此時，指針p所指節點左側的所有節點的連接方向都已逆轉。

　　圖1題8圖

　　①（6分）使用Pascal或C語言編寫一個算法，從任一給定位置（pr，p）開始，將指針p右移1個節點。如果p移出鏈表，則將p置為NULL，并讓pr留在鏈表最右邊的節點上。

　　②（6分）使用Pascal或C語言編寫一個算法，從任一給定位置（pr，p）開始，將指針p左移一個節點。如果p移出鏈表，則將p置為NULL，并讓pr停留在鏈表最左邊的節點上。