2017考研數學高頻題型歸納(2)

 　　2017考研數學高頻題型歸納(2)

　　四、極限計算

　　整張試卷共23題，其中第15題幾乎是極限計算大題的代名詞。極限計算有8種武器，分別為：四則運算法則、等價無窮小替換、洛必達法則、冪指型函數的處理、單側極限、夾逼定理、單調有界必有極限原理和泰勒公式。

　　考生在基礎階段要把前5種武器掌握好：內容是什么弄清楚，會應用。后3種武器較難把握，我們可以分階段啃下這幾個硬骨頭。基礎階段弄清定理內容，會做基本題目。

　　對于夾逼定理，內容方面，考生要知曉它有數列和函數兩種形式。每種形式條件是什么，結論是什么要理解。以數列形式為例，條件是一個數列夾在另兩個數列之間(bn<= an<= cn, 只要n充分大時成立即可，因為考慮的是極限)，且有n趨于無窮時，兩邊的數列收斂到相同的數，結論是夾在中間的數列極限存在且極限值也為相同的數。應用方面，要熟悉夾逼定理推出的一個結論：無窮小乘有界量等于無窮小。會用夾逼定理計算一種長得很有型的數列的極限——n項分母互不相同的分式的和的極限。

　　對于單調有界必有極限原理，內容不難理解。應用方面，可以處理另一種長得很有型的數列的極限問題——遞推式數列的極限的存在性問題中的簡單題;也可以到了強化階段再全面處理這種題。

　　泰勒公式可以說是算極限的比較強大的武器。萬物對立統一，這么強大的武器理解和運用起來自然會有些難度。基礎階段，要理解泰勒公式有兩種形式——帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式，前者用來算極限，后者用來證明。算極限，需要記憶常見函數的泰勒公式。

　　五、冪級數求和、展開

　　處理此類問題可以從兩方面把握：工具和思路。

　　工具包括一般函數f(x)的泰勒級數、常見函數的泰勒級數和逐項求導、積分定理。把這三部分內容理解到位是處理求和、展開問題的前提。

　　函數展開成冪級數有兩種方法：直接法和間接法。絕大部分真題用的是間接法。所謂間接法，即記住常用函數的泰勒展開公式，然后看題目所給函數跟哪個公式像，則朝該公式的方向變形。變形的方式包括基本變形(如裂項)和求導、求積。后一種變形方式考頻更高。此種變形也可以這么理解：題目所給函數直接套公式不行，也不能通過基本變形后套公式，那就考慮求導數或求積分，把運算后的函數套公式展開成冪級數，然后做逆運算還原。

　　冪級數求和實質是函數展開成冪級數的逆過程，類似考慮即可。

　　六、中值相關證明

　　中值相關證明是考研數學公認的難點，考生得分率在30%以下。該部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。基礎階段，要求考生對上述定理的內容能完整表述，前四個定理會證明。

　　在基礎階段提出“會證”的要求并不過分，理由有三：1. 2015年真題考到了乘積的導數公式的證明，這提醒考生教材中的重要定理要會證;2. 2009年數一、二、三考了拉格朗日中值定理的證明3. 教材中原定理的證明中蘊含中證明其它結論的思想。

　　七、經濟應用(數三)

　　經濟應用包括三方面的內容：比較值問題、邊際問題和彈性問題。比較值問題需熟悉經濟學中常用量(收益、利潤、成本、價格和銷量)的關系，據此寫出函數表達式，進而化為普通的高數的比較值問題;“邊際”對應“導數”，如邊際利潤即利潤函數L(Q)的導數;彈性需記清需求彈性的基本公式。