2017考研數學：高數框架梳理

     2017考研數學：高數框架梳理

第一單元 微分學（包括極限、連續性、微分學）

　　A. 基本內容

　　一、極限

　　1. 極限的概念：（1）一元函數的極限的定義 （2）二元函數的二重極限的定義

　　2. 極限的運算法則

　　3. 無窮�。海�1）定義 （2）性質 （3）極限與無窮小的關系 （4）無窮小的比較

　　4. 無窮大

　　5. 極限的求法：十二種方法

　　二、連續性

　　1. 定義        2. 間斷點的分類

　　3. 連續函數的運算性質        4. 在閉區間（域）上連續函數的性質

　　三、導數與微分

　　1. 導數的定義：（1）導數 （2）偏導數 （3）方向導數

　　2. 微分的定義

　　3. 可微的條件

　　四、求導法則

　　1. 和（差）、積、商的求導法則

　　2. 復合函數求導法則

　　3. 反函數求導法則

　　五、幾類特殊函數的導數

　　1. 隱函數 2. 冪指函數 3. 參數式

　　六、高階（偏）導數

　　1. 定義 2. 求法 3. 二階混合偏導數與求導次序無關的條件

　　七、微分中值定理

　　1. 三個中值定理 2. 泰勒公式

　　B. 知識關系圖

　　C. �？純热�

　　一、極限的求法 二、無窮小 三、導數的定義

　　四、求導法則（一、二階） 五、連續性        六、中值定理

第二單元 積分學

　　A. 基本內容

　　一、各類積分的定義

　　二、各類積分的性質：相同的；不同的

　　三、各類積分的常規計算方法

　　1. 不定積分、定積分的換元與分部積分法 2. 重積分：化重積分為累次積分

　　3. 曲線積分：化曲線積分為定積分 4. 曲面積分：化曲面積分為二重積分

　　四、各類積分的特殊計算方法

　　1. 定積分：奇偶性                        周期性

　　2. 二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分：

　�。�1）奇偶性                 （2）輪換對稱性

　　（3）重心的公式反用         （4）先二后一法計算三重積分

　　3. 對坐標的曲線積分

　�。�1）格林公式 （2）斯托克斯公式 （3）與路徑無關的積分

　　4. 對坐標的曲面積分：高斯公式

　　B. 各類積分關系圖

第三單元 級數、微分方程

　　A. 基本內容

　　一、級數

　　1. 常數項級數

　�。�1）定義 （2）性質 （3）常數項級數審斂法

　　2. 冪級數

　　（1）冪級數的定義  （2）阿貝爾定理

　　（3）冪級數的性質：逐項求導，逐項積分  （4）冪級數的收斂半徑與區間

　�。�5）冪級數的和函數   （6）將函數展開成冪級數

　　3. 傅里葉級數

　�。�1）傅里葉系數與傅里葉級數 （2）狄氏定理 （3）正、余弦級數

　　二、微分方程及差分方程

　　1. 定義   2. 一階方程  3. 可降階的高階方程

　　4. 線性方程

　�。�1）線性方程解的性質  （2）齊次線性方程  （3）非齊次線性方程

　　5. 歐拉方程   6. 差分方程

　　B. �？純热�

　　一、常數項級數審斂      二、冪級數

　　三、齊次方程、一階線性方程 、二階常系數非齊次方程   四、列方程

第四單元 應用問題

　　一、導數的應用

　　1. 單調性的判別法

　　2. 函數的極值：

　�。�1）一元函數、二元函數的極值的定義；   （2）必要條件；

　�。�3）充分條件：①一元函數：二個充分條件；②二元函數   （4）條件極值

　　3. 函數的比較值

　　4. 曲線的凹凸性和拐點

　　5. 漸近線及作圖

　　6. 切線與法線

　　7. 切線與切平面

第五單元 證明問題

　　一、等式的證明方法

　　1. 用介值定理 2. 用中值定理 3. 用泰勒公式

　　4. 用積分法 5. 用積分的性質 6. 轉換法

　　7. 改變積分次序法

　　二、證明不等式的方法

　　1. 用函數的單調性 2. 用中值定理 3. 用泰勒公式

　　4. 用積分的性質 5. 轉換法 6. 求比較值