考研數學線代復習重點：特征值與二次型

 　　矩陣的特征值與特征向量問題以及二次型的標準化問題均是考研數學中的重要常考點，為了幫助考生在暑假期間更有效地復習這兩個章節的知識，跨考考研數學教研室邵春營老師特撰寫此文來講解矩陣的特征值與特征向量問題以及二次型的標準化問題。

　　一、矩陣的特征值與特征向量問題

　　矩陣的特征值與特征向量這一章節的內容可以歸結為三大問題：

　　1.矩陣的特征值與特征向量的概念理解以及計算問題

　　這一部分要求會求給定矩陣的特征值與特征向量，常考的題型有數值型矩陣的特征值與特征向量的計算和抽象型矩陣的特征值與特征向量的計算。若給定的矩陣是數值型的矩陣，則一般的方法是通過求矩陣特征方程 的根得到該矩陣的特征值，然后再通過求解齊次線性方程組 的非零解得到對應特征值 的特征向量。若給定的矩陣是抽象型的，則在求特征值與特征向量的時候常用的方法是通過定義 ，但此時需要考慮的是特征值與特征向量的性質以及應用。

　　2.矩陣(方陣)的相似對角化問題

　　這里要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣 以及對角陣 。事實上，矩陣相似對角化之后還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。

　　3.實對稱矩陣的正交相似對角化問題

　　其實質還是矩陣的相似對角化問題，與2不同的是求得的可逆陣為正交陣。這里要求考生除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣 使得該矩陣正交相似于對角陣 ;也可以根據矩陣A的特征值、特征向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A;另外由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值 的特征向量確定出 對應的特征向量，從而確定出矩陣A。比較重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當于解決了實二次型的標準化問題。

　　二、二次型

　　二次型這一章節主要研究兩個方面的問題：

　　1.二次型的標準化問題

　　二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那么實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。

　　2.二次型的正定性判斷

　　此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對于具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規范形中的系數是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。