福建師范大學《高等代數》2011年考研大綱

《高等代數》考試內容范圍

　　第一章多項式
　　多項式理論自成一體，內容豐富。首先要把握多項式代數與多項式函數兩個不同的角度和聯系。多項式的代數運算（包括帶余除法）及其引導出的概念性質是多項式代數的內容，而多項式的根及重根是多項式函數的內容。兩個多項式相等的充分必要條件是它們作為函數相等的。其次要掌握多項式理論中與數域擴充無關的整除，帶余除法，比較大公因式，互質等；而不可約多項式，因式分解等與數域擴充有關。
　　主要內容有：
　　一多項式代數與多項式函數
　　二比較大公因式和互質及應用（與數域擴充無關的性質）
　　三因式分解及應用（與數域擴充有關的性質）
　　第二章行列式
　　行列式理論，應重點掌握行列式的性質并用以計算行列式，熟練掌握一些基本的計算方法。
　　主要內容有：
　　一行列式的定義與性質
　　二行列式的計算及應用
　　第三章矩陣初步
　　掌握矩陣的運算（包括轉置，方陣的跡）。矩陣的初等變換是矩陣論的核心和精髓，必須很好地領會理解并應用。方塊矩陣的初等變換是矩陣的初等變換的延伸，是解決矩陣問題的很好工具。了解Benit-Cauchy公式，它在證明和計算一些行列式的子式，不等式時特別有用。
　　主要內容有：
　　一矩陣代數
　　二矩陣的初等變換及應用
　　三方塊矩陣的初等變換及應用
　　第四章線性空間
　　線性空間是高等代數的主要研究對象。它體現了代數學中研究其它代數結構的基本思路。元素之間的研究---線性關系，包括線性表出，線性相關和線性無關，空間的基和坐標，基之間的過渡矩陣。子結構的研究---子空間和子空間的直和。這是從內部來研究代數結構。下一章將從外部結構來研究代數結構，這就是線性映射和線性變換。要掌握子空間的和與交的維數公式在討論子空間分解中的作用。
　　主要內容有：
　　一線性空間的定義
　　二向量的線性關系
　　三子空間與空間直和分解及應用

　　第五章線性變換
　　把握用線性映射（變換）的觀點來研究線性空間這條主線。掌握空間線性映射（變換）與線性相關性和子空間的關系，特別是由線性映射（變換）導出的兩個比較重要的子空間---象空間和核空間。掌握由空間的基的象決定線性映射（變換）的辦法。掌握用同構的觀點討論線性映射（變換）與矩陣的本質聯系。掌握關于Im（f）和Ker（f）的維數公式在子空間分解中的應用。
　　主要內容有：
　　一線性映射
　　二線性變換
　　三同構對應及應用
　　第六章線性方程組
　　從線性表出和矩陣的秩的觀點來討論線性方程解的存在和解的個數，用子空間的觀點來討論線性解的結構。關注線性方程組的反問題和矩陣方程問題。
　　主要內容有：
　　一齊次線性方程組結構及應用
　　二非齊次線性方程組結構及應用
　　三線性方程組的反問題和矩陣方程
　　第七章矩陣的秩
　　掌握從行列式，相抵標準形，向量，線性空間，線性方程組，線性變換，矩陣分解等各個角度來理解矩陣的秩。學會從各個角度來證明矩陣秩的命題以及矩陣的秩命題在各個方面的應用。
　　主要內容有：
　　一矩陣的秩的等價刻劃
　　二關于矩陣秩的基礎命題及應用
　　三關于矩陣秩的進一步命題及應用
　　第八章線性空間同構
　　同構是代數學的基本思想方法。利用同構的思想方法掌握矩陣命題和線性變換命題的互相轉化。
　　主要內容有：
　　一線性空間的同構
　　二三種重要的同構
　　三命題的互相轉化及應用

　第九章特征值與特征向量
　　掌握相關概念，命題，定理中線性變換和矩陣的對應。
　　主要內容有：
　　一矩陣的特征值與特征向量特征多項式比較小多項式的求法及應用
　　二線性變換的特征值與特征向量特征多項式比較小多項式的求法及應用
　　三可對角化矩陣（線性變換）的判定、性質及應用
　　第十章空間分解定理和Jordan標準形
　　掌握空間分解為特殊的f-不變子空間：根子空間，循環子空間的直和與Jordan標準形的對應，掌握矩陣的特征多項式，比較小多項式，初等因子與Jordan標準形的關系。掌握用Jordan標準形考慮和解決問題的方法。
　　主要內容有：
　　一空間分解定理
　　二Jordan標準形
　　三Jordan標準形的求法
　　四Jordan標準形應用
　　第十一章歐氏空間
　　歐氏空間有內積，因而具有度量性質：向量的長度，夾角，正交。進一步有標準正交基，Schmidt正交化，正交矩陣和正交補空間。掌握歐氏空間的度量性質，掌握正交變換，對稱變換及與實數域上正交矩陣，對稱矩陣的對應關系。
　　主要內容有：
　　一歐氏空間的正交向量
　　二歐氏空間的子空間的正交補
　　三n維歐氏空間的線性變換
　　第十二章二次形
　　掌握二次形化成標準形和矩陣合同關系的對應結論。正定二次形是重要的、典型的一類二次形。對于實對稱矩陣，不但要掌握在合同關系下的標準形，還要掌握正交相似關系的標準形。
　　主要內容有：
　　一二次形的標準形
　　二二次形正定性的判定及應用
　　第十三章等價關系與矩陣標準形
　　掌握等價分類取代表元的思想方法，并用于討論矩陣在各種等價分類的標準形。同時要注意在同構意義下矩陣命題和線性變換命題的對應。
　　主要內容有：
　　一等價關系與分類
　　二矩陣中常見的幾種等價關系及應用